2025-07-14 14:59:11
Простейшие свойства сходящихся рядов
Другие предметы Университет Сходящиеся ряды кратные интегралы ряды свойства сходящихся рядов университет математический анализ многомерные интегралы теория рядов учебные материалы высшая математика подготовка к экзаменам
2025-07-14 14:59:28
Сходящиеся ряды — это ряды, сумма которых стремится к конечному числу при увеличении числа членов ряда. Рассмотрим основные свойства сходящихся рядов, которые могут быть полезны при изучении этой темы.
1. Сумма конечного числа членов ряда:- Если ряд сходится, то сумма его первых n членов также будет конечной.
- Если два ряда Σa_n и Σb_n сходятся, то их сумма Σ(a_n + b_n) также сходится, и сумма равна сумме их пределов:
- Σ(a_n + b_n) = Σa_n + Σb_n.
- Если ряд Σa_n сходится и k — конечное число, то ряд Σ(k * a_n) также сходится, и его сумма равна:
- Σ(k * a_n) = k * Σa_n.
- Если ряд Σa_n и ряд Σb_n имеют положительные члены и a_n ≤ b_n для всех n, и если ряд Σb_n сходится, то ряд Σa_n также сходится.
- Это свойство известно как принцип сравнения.
- Если ряд Σa_n сходится, то ряд Σ|a_n| также может сходиться. Если ряд Σ|a_n| сходится, то ряд Σa_n называется абсолютно сходящимся.
- Абсолютная сходимость является более сильным свойством, чем обычная сходимость.
- Если ряд имеет вид Σ(-1)^n * a_n, где a_n — положительные числа, и a_n убывает и стремится к нулю, то такой ряд сходится по критерию Лейбница.
Эти свойства являются основополагающими в теории рядов и позволяют решать множество задач, связанных с определением сходимости различных рядов. Понимание и использование этих свойств поможет вам более уверенно работать с рядами в дальнейшем.
