Разложение функции е^2x+3в ряд Тейлора в точке х = 1 имеет вид:

• 
• 
• 

Другие предметы Университет Ряд Тейлора разложение функции ряд Тейлора математика университет е2x+3 точка х=1 Новый

Чтобы разложить функцию e^(2x + 3) в ряд Тейлора в точке x = 1, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их по порядку.

1. Определение функции и точки разложения:

   Наша функция: f(x) = e^(2x + 3). Точка разложения: x = 1.

2. Нахождение производных функции:

   Для разложения в ряд Тейлора нам нужны значения функции и её производных в точке x = 1. Начнём с первой производной:

   • f'(x) = 2 * e^(2x + 3).
   • f''(x) = 4 * e^(2x + 3).
   • f'''(x) = 8 * e^(2x + 3).
   • И так далее, каждая следующая производная будет иметь вид: f^(n)(x) = 2^n * e^(2x + 3).
3. Вычисление значений производных в точке x = 1:

   Теперь подставим x = 1 в найденные производные:

   • f(1) = e^(2*1 + 3) = e^5.
   • f'(1) = 2 * e^5.
   • f''(1) = 4 * e^5.
   • f'''(1) = 8 * e^5.
   • И так далее, f^(n)(1) = 2^n * e^5.
4. Формула ряда Тейлора:

   Ряд Тейлора функции f(x) в точке a (в нашем случае a = 1) имеет вид:

   f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)²/2! + f'''(a)(x - a)³/3! + ...

5. Подстановка значений в формулу:

   Теперь подставим найденные значения в формулу:

   f(x) = e^5 + 2 * e^5 * (x - 1) + (4 * e^5 / 2!)(x - 1)² + (8 * e^5 / 3!)(x - 1)³ + ...

Таким образом, ряд Тейлора для функции e^(2x + 3) в точке x = 1 можно записать как:

f(x) = e^5 * (1 + 2(x - 1) + (2(x - 1)²) + (4/3)(x - 1)³ + ...)

Это и будет разложение функции e^(2x + 3) в ряд Тейлора в точке x = 1.