Разложите в степенной ряд f(x) = arctg 3x

Другие предметы Университет Степенные ряды и их разложения разложение в степенной ряд математический анализ arctg 3x университет функции и ряды математические функции Новый

Чтобы разложить функцию f(x) = arctg(3x) в степенной ряд, мы можем воспользоваться известным разложением для функции arctg(x) и затем применить его к нашему случаю.

Шаг 1: Используем известное разложение для arctg(x)

Функция arctg(x) имеет разложение в степенной ряд в окрестности нуля:

arctg(x) = x - (x^3)/3 + (x^5)/5 - (x^7)/7 + ... = Σ (-1)^(n-1) * (x^(2n-1))/(2n-1), при |x| < 1.

Шаг 2: Подставляем 3x вместо x

Теперь, чтобы получить разложение для arctg(3x), мы подставим 3x в это разложение:

• arctg(3x) = 3x - (3x)^3/3 + (3x)^5/5 - (3x)^7/7 + ...

Шаг 3: Упростим выражение

Теперь упростим каждое из слагаемых:

• Первое слагаемое: 3x
• Второе слагаемое: -(27x^3)/3 = -9x^3
• Третье слагаемое: (243x^5)/5
• Четвертое слагаемое: -(2187x^7)/7

Таким образом, мы можем записать разложение в виде:

arctg(3x) = 3x - 9x^3 + (243/5)x^5 - (2187/7)x^7 + ...

Шаг 4: Записываем общий вид ряда

Теперь мы можем выразить это в виде суммы:

arctg(3x) = Σ (-1)^(n-1) * (3^(2n-1) * x^(2n-1))/(2n-1), при |3x| < 1, или |x| < 1/3.

Итак, ответ: Разложение функции f(x) = arctg(3x) в степенной ряд имеет вид:

arctg(3x) = 3x - 9x^3 + (243/5)x^5 - (2187/7)x^7 + ...

или в общем виде:

arctg(3x) = Σ (-1)^(n-1) * (3^(2n-1) * x^(2n-1))/(2n-1), при |x| < 1/3.