Решение задачи Коши для одномерного уравнения теплопроводности имеет вид

Другие предметы Университет Уравнения в частных производных задача Коши одномерное уравнение теплопроводность решение уравнения математические модели университетская математика Новый

Решение задачи Коши для одномерного уравнения теплопроводности можно представить в виде формулы, которая описывает распределение температуры в одномерной среде со временем. Уравнение теплопроводности имеет следующий вид:

∂u/∂t = k * ∂²u/∂x²

где:

• u(x, t) - температура в точке x в момент времени t;
• k - коэффициент теплопроводности.

Решение данной задачи Коши зависит от начальных условий, которые задаются в момент времени t=0. Обычно это выглядит так:

• u(x, 0) = f(x) - начальное распределение температуры;
• u(0, t) = g(t) - граничные условия, если они заданы.

Для нахождения решения можно использовать метод разделения переменных или метод Фурье. Рассмотрим общий подход:

1. Предполагаем, что решение можно представить в виде произведения функций: u(x, t) = X(x)T(t).
2. Подставляем это выражение в уравнение теплопроводности.
3. Разделяем переменные, получая два обыкновенных дифференциальных уравнения для X(x) и T(t).
4. Решаем каждое из уравнений, используя заданные начальные и граничные условия.
5. Комбинируем полученные решения, чтобы получить общее решение задачи.

В результате, общее решение задачи Коши для одномерного уравнения теплопроводности может быть представлено в виде интеграла Фурье, который учитывает начальные условия:

u(x, t) = (1/(2√(πkt))) ∫ f(ξ) * e^(-(x-ξ)²/(4kt)) dξ

где интегрирование проводится по всему диапазону значений ξ, и данное выражение описывает распределение температуры в зависимости от времени и начального распределения.