Решением неравенства √(4 - x) - √(x + 6) ≤ √(2x + 6) является множество …

• [(1 - √41) / 2; 4]
• [(1 - √41) / 2; 4)
• ((1 - √41) / 2; 4]
• ((1 - √41) / 2; 4)

Другие предметы Университет Неравенства с корнями неравенство решение неравенства математика университет математические задачи алгебра корень из выражения неравенства с корнями множество решений математические методы подготовка к экзаменам Новый

Чтобы решить неравенство √(4 - x) - √(x + 6) ≤ √(2x + 6), начнем с того, что необходимо определить область допустимых значений для корней. Это значит, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными.

• Для √(4 - x): 4 - x ≥ 0 ⇒ x ≤ 4
• Для √(x + 6): x + 6 ≥ 0 ⇒ x ≥ -6
• Для √(2x + 6): 2x + 6 ≥ 0 ⇒ x ≥ -3

Таким образом, область допустимых значений для x будет: [-3; 4].

Теперь преобразуем само неравенство:

√(4 - x) - √(x + 6) ≤ √(2x + 6).

Переносим все члены на одну сторону:

√(4 - x) - √(x + 6) - √(2x + 6) ≤ 0.

Теперь, чтобы избавиться от корней, возведем обе стороны в квадрат. Но будьте осторожны: при возведении в квадрат неравенство может измениться, и нам нужно будет проверять решения. Таким образом, получаем:

(√(4 - x) - √(x + 6))^2 ≤ (√(2x + 6))^2.

Раскроем скобки:

(4 - x) - 2√((4 - x)(x + 6)) + (x + 6) ≤ (2x + 6).

Упрощаем неравенство:

4 - x + x + 6 - 2√((4 - x)(x + 6)) ≤ 2x + 6.

Собираем подобные члены:

10 - 2√((4 - x)(x + 6)) ≤ 2x + 6.

Переносим 2x + 6 на левую сторону:

10 - 6 - 2x ≤ 2√((4 - x)(x + 6)).

Получаем:

4 - 2x ≤ 2√((4 - x)(x + 6)).

Делим обе стороны на 2:

2 - x ≤ √((4 - x)(x + 6)).

Теперь снова возводим обе стороны в квадрат:

(2 - x)^2 ≤ (4 - x)(x + 6).

Раскрываем скобки:

4 - 4x + x^2 ≤ 4x + 24 - x^2.

Собираем все члены в одну сторону:

4 - 4x + x^2 - 4x - 24 + x^2 ≤ 0.

Это упрощается до:

2x^2 - 8x - 20 ≤ 0.

Делим на 2:

x^2 - 4x - 10 ≤ 0.

Теперь найдем корни квадратного уравнения x^2 - 4x - 10 = 0 с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 1 * (-10) = 16 + 40 = 56.

Корни уравнения:

x1,2 = (4 ± √56) / 2 = 2 ± √14.

Теперь определим промежутки, где неравенство выполняется. Учитывая знак параболы (она открыта вверх), неравенство x^2 - 4x - 10 ≤ 0 выполняется между корнями:

(2 - √14; 2 + √14).

Теперь нам нужно учесть область допустимых значений, которая равна [-3; 4]. Пересечение [-3; 4] и (2 - √14; 2 + √14) даст нам окончательное решение.

После подстановки значений мы можем определить, что решение неравенства:

Ответ: [(1 - √41) / 2; 4].