Свойство линейности смешанного произведения является важным аспектом в линейной алгебре, особенно при работе с векторами в пространстве. Смешанное произведение трех векторов a, b и c, обозначаемое как [a, b, c], можно рассматривать как объем параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Свойство линейности смешанного произведения можно сформулировать следующим образом:

• Смешанное произведение линейно по каждому из своих аргументов.

Это означает, что если мы изменим один из векторов, добавив к нему линейную комбинацию других векторов, то значение смешанного произведения изменится соответствующим образом. Рассмотрим это более подробно:

1. Пусть v1, v2 и v3 - три вектора в пространстве.
2. Для любого вектора v1 и векторов u и w, выполняется следующее свойство:
• [u + v1, v2, v3] = [u, v2, v3] + [v1, v2, v3]
3. Аналогично, для второго и третьего векторов:
• [v1, u + v2, v3] = [v1, u, v3] + [v1, v2, v3]
• [v1, v2, u + v3] = [v1, v2, u] + [v1, v2, v3]

Таким образом, смешанное произведение является линейным по каждому из своих аргументов. Это свойство позволяет нам использовать смешанное произведение в различных задачах линейной алгебры, включая вычисление объемов и решение систем линейных уравнений.