Сколько первообразных может иметь каждая функция?

Другие предметы Университет Первообразные функции первообразные функции математический анализ количество первообразных свойства функций интегрирование функций Новый

Каждая функция может иметь бесконечно много первообразных. Давайте разберем, почему это так.

Определение первообразной: Первообразная функции f(x) — это такая функция F(x), производная которой равна f(x). То есть, F'(x) = f(x).

Теперь рассмотрим, как можно получить различные первообразные одной и той же функции:

1. Если F(x) — одна первообразная функции f(x), то любая другая первообразная G(x) может быть записана как:
• G(x) = F(x) + C,
2. где C — произвольная константа. Это означает, что мы можем добавлять к первообразной любую постоянную величину, и производная от этой постоянной будет равна нулю, что не изменит производную F(x).

Таким образом, для каждой функции f(x) существует бесконечно много первообразных, отличающихся друг от друга только добавлением постоянной. Например, если f(x) = 2x, то одной из первообразных будет F(x) = x^2. Но также G(x) = x^2 + 5, H(x) = x^2 - 3 и так далее — все они являются первообразными функции f(x).

В заключение, можно сказать, что каждая функция имеет бесконечно много первообразных, и они отличаются друг от друга добавлением произвольной константы.