Для решения этой задачи нам нужно понять, что такое перестановка и как учитываются условия задачи. Перестановка - это любое расположение множества элементов, в данном случае 8 различных предметов.

Нам нужно найти количество перестановок, при которых ровно 6 или ровно 5 предметов остаются на своих местах. Давайте разберем это поэтапно.

1. Перестановки с ровно 6 предметами на своих местах:
• Выбираем 6 предметов из 8, которые останутся на своих местах. Это можно сделать с помощью сочетаний: C(8, 6).
• Оставшиеся 2 предмета должны поменяться местами, чтобы не оставаться на своих местах. Это единственный вариант, так как они уже не могут быть на своих местах, иначе количество предметов на своих местах будет больше 6. Таким образом, для оставшихся 2 предметов существует ровно 1 способ поменять их местами.
• Итак, количество таких перестановок будет равно C(8, 6) * 1.
2. Перестановки с ровно 5 предметами на своих местах:
• Выбираем 5 предметов из 8, которые останутся на своих местах. Это можно сделать с помощью сочетаний: C(8, 5).
• Для оставшихся 3 предметов необходимо организовать перестановку так, чтобы ни один из них не остался на своем месте. Существует 2 таких перестановки (дерангемент) для 3 предметов.
• Таким образом, количество таких перестановок будет равно C(8, 5) * 2.

Теперь рассчитаем численные значения:

• C(8, 6) = 28 (так как C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!), где 8!/(6!*2!) = 28)
• C(8, 5) = 56 (так как 8!/(5!*3!) = 56)

Теперь подставим и посчитаем:

• Количество перестановок с ровно 6 предметами на своих местах: 28 * 1 = 28.
• Количество перестановок с ровно 5 предметами на своих местах: 56 * 2 = 112.

Теперь сложим оба результата:

• Общее количество перестановок: 28 + 112 = 140.

Таким образом, существует 140 перестановок 8 различных предметов, при которых ровно 6 или ровно 5 предметов остаются на своих местах.