СЛАУ. Различные формы записи СЛАУ. Понятие совместности СЛАУ. Доказательство теоремы о структуре общего решения неоднородной СЛАУ.

Другие предметы Университет Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) СЛАУ формы записи СЛАУ совместность СЛАУ теорема о структуре решения неоднородная СЛАУ Новый

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) представляет собой набор уравнений, в которых каждое уравнение линейно по отношению к переменным. Существует несколько форм записи СЛАУ, а также важные понятия, такие как совместность и структура общего решения. Давайте рассмотрим все эти аспекты подробнее.

Различные формы записи СЛАУ

СЛАУ можно записывать в различных формах:

1. Векторно-матричная форма:

   Запись СЛАУ в виде Ax = b, где A - матрица коэффициентов, x - вектор переменных, b - вектор свободных членов.

2. В виде системы уравнений:

   Каждое уравнение записывается по отдельности, например:

   • a1*x1 + a2*x2 + ... + an*xn = b1
   • c1*x1 + c2*x2 + ... + cn*xn = b2
   • ...
   • m1*x1 + m2*x2 + ... + mn*xn = bm
3. В виде расширенной матрицы:

   СЛАУ можно представить в виде расширенной матрицы [A | b], где A - матрица коэффициентов, а b - вектор свободных членов.

Понятие совместности СЛАУ

Система линейных уравнений называется совместной, если существует хотя бы одно решение. Если решений нет, то система называется несовместной. Если же существует бесконечно много решений, система называется вырожденной.

Совместность можно определить с помощью ранга матрицы A и расширенной матрицы [A | b]:

• Если ранг A равен рангу [A | b] и равен количеству переменных, то система имеет единственное решение.
• Если ранг A равен рангу [A | b], но меньше количества переменных, то система имеет бесконечно много решений.
• Если ранг A меньше ранга [A | b], то система несовместна.

Доказательство теоремы о структуре общего решения неоднородной СЛАУ

Рассмотрим неоднородную СЛАУ вида Ax = b. Теорема о структуре общего решения утверждает, что общее решение неоднородной СЛАУ можно представить как сумму частного решения и общего решения соответствующей однородной системы Ax = 0.

Доказательство:

1. Предположим, что x0 - частное решение неоднородной системы Ax = b. Это значит, что A * x0 = b.
2. Обозначим общее решение однородной системы Ax = 0 как x_h. Тогда для любого решения x_h выполняется A * x_h = 0.
3. Теперь рассмотрим x = x0 + x_h. Подставим это выражение в неоднородную систему:
4. A * (x0 + x_h) = A * x0 + A * x_h = b + 0 = b.
5. Таким образом, x = x0 + x_h является решением неоднородной системы.
6. Это означает, что общее решение неоднородной СЛАУ можно выразить как сумму частного решения и общего решения однородной системы.

Таким образом, мы доказали, что общее решение неоднородной СЛАУ имеет указанную структуру.