Состоятельность оценок максимального правдоподобия — это важное свойство, которое означает, что по мере увеличения объема выборки оценка, полученная методом максимального правдоподобия, будет сходиться к истинному значению параметра. Для понимания этого свойства полезно рассмотреть несколько теоретических основ, которые его обосновывают.

Теорема Фишера утверждает, что если оценка является оценкой максимального правдоподобия, то она будет состоятельной, при условии, что выполняются некоторые регулярные условия. Это означает, что при увеличении объема выборки вероятность того, что оценка отклонится от истинного значения, уменьшается.

Центральная предельная теорема (ЦПТ) гласит, что при достаточно большом объеме выборки распределение суммы (или среднего) независимых и одинаково распределенных случайных величин стремится к нормальному распределению, независимо от исходного распределения. Это свойство позволяет утверждать, что оценки, полученные методом максимального правдоподобия, будут распределены нормально вокруг истинного значения при увеличении объема выборки.

Закон больших чисел (ЗБЧ) утверждает, что среднее значение выборки будет сходиться к математическому ожиданию распределения с увеличением объема выборки. Это свойство гарантирует, что при увеличении размера выборки оценки параметров будут приближаться к их истинным значениям.

Существуют различные теоремы о сходимости, которые формализуют понятие сходимости последовательностей. В контексте оценок максимального правдоподобия это означает, что с увеличением объема выборки оценки будут сходиться к истинным значениям параметров.

Таким образом, сочетание теоремы Фишера, центральной предельной теоремы, закона больших чисел и теорем о сходимости формирует теоретическую основу для утверждения о состоятельности оценок максимального правдоподобия. Эти теоремы показывают, что при достаточном объеме выборки оценки, полученные методом максимального правдоподобия, будут близки к истинным значениям параметров, что и является сутью состоятельности.