В данном предложении необходимо выбрать правильную конструкцию для начала обсуждения. Рассмотрим предложенные варианты:

• Barely had they – эта конструкция используется для обозначения того, что одно событие произошло сразу после другого, и в данном случае она подходит.
• No sooner had they – также правильная конструкция, которая используется в аналогичных контекстах, чтобы показать, что одно действие произошло сразу после другого.
• Barely they had – эта форма неверна, так как не соответствует грамматическим правилам английского языка.
• No sooner had they – правильная конструкция, которая используется для описания событий, происходящих последовательно.

Таким образом, правильные варианты для начала предложения: Barely had they или No sooner had they. Оба варианта корректны, но выбор зависит от контекста и стиля изложения.

Если вы хотите подчеркнуть, что события произошли почти одновременно, используйте Barely had they. Если акцент на том, что одно событие произошло сразу после другого, используйте No sooner had they.

Итак, итог: правильные варианты - Barely had they или No sooner had they.