Давайте разберемся с этим вопросом. Нам нужно найти функцию двух переменных f(x, y), у которой в каждой точке частная производная по первой переменной (x) равна частной производной по второй переменной (y).

1. Частная производная функции f(x, y) по переменной x обозначается как f_x(x, y) и вычисляется как предел изменения функции при изменении x, тогда как y остается постоянным.
2. Частная производная функции f(x, y) по переменной y обозначается как f_y(x, y) и вычисляется как предел изменения функции при изменении y, тогда как x остается постоянным.
3. Нам требуется, чтобы f_x(x, y) = f_y(x, y) для всех (x, y).

Теперь давайте попробуем найти такую функцию. Рассмотрим простую функцию f(x, y) = x + y.

• Частная производная по x: f_x(x, y) = 1, так как производная x по x равна 1, а y считается константой.
• Частная производная по y: f_y(x, y) = 1, так как производная y по y равна 1, а x считается константой.

Видим, что f_x(x, y) = f_y(x, y) = 1. Таким образом, функция f(x, y) = x + y удовлетворяет условию, что частные производные по x и y равны.

Таким образом, ответ на вопрос: да, существует функция двух переменных, у которой в каждой точке частная производная по первой переменной равна частной производной по второй переменной.