Существует ли функция двух переменных, у которой в каждой точке частная производная по первой переменной равна частной производной по второй переменной?

• нет
• да

Другие предметы Университет Частные производные и условия их равенства функция двух переменных частная производная условия равенства математический анализ университетские задачи Новый

Чтобы ответить на вопрос, рассмотрим функцию двух переменных f(x, y) и предположим, что в каждой точке (x, y) выполняется следующее условие:

∂f/∂x = ∂f/∂y

Это означает, что частная производная функции f по первой переменной x равна частной производной по второй переменной y в каждой точке. Теперь давайте проанализируем, что это может означать для самой функции.

Если мы обозначим частную производную функции f по x как g(x, y), то согласно нашему предположению, g(x, y) будет равно g(y, x). Это может привести к следующим выводам:

1. Если мы интегрируем частную производную по x, то получим:
2. f(x, y) = ∫g(x, y) dx + h(y), где h(y) - произвольная функция от y.
3. Аналогично, если мы интегрируем по y, получим:
4. f(x, y) = ∫g(y, x) dy + k(x), где k(x) - произвольная функция от x.

Теперь, поскольку g(x, y) = g(y, x), это означает, что интегралы по x и y должны давать одинаковую функцию f(x, y), что может быть выполнено для некоторых функций.

Например, рассмотрим функцию:

f(x, y) = x + y

В этой функции частные производные будут следующими:

• ∂f/∂x = 1
• ∂f/∂y = 1

Таким образом, в каждой точке частные производные равны.

С другой стороны, можно рассмотреть функцию:

f(x, y) = x^2 + y^2

В этом случае частные производные будут:

• ∂f/∂x = 2x
• ∂f/∂y = 2y

Здесь частные производные не равны, если x не равно y.

Таким образом, ответ на ваш вопрос:

Да, существует функция двух переменных, у которой в каждой точке частная производная по первой переменной равна частной производной по второй переменной.