Чтобы найти уравнение касательной к функции в заданной точке, нам необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции: Это позволит нам определить наклон касательной в интересующей точке.
2. Вычислить значение функции в заданной точке: Это даст нам координаты точки, через которую проходит касательная.
3. Вычислить значение производной в заданной точке: Это будет наклон касательной.
4. Записать уравнение касательной: Используя точку и наклон, мы сможем записать уравнение касательной в точке.

Теперь давайте применим эти шаги к нашей функции f(x) = x²(x + 2)²:

1. Найти производную функции: Для этого используем правило произведения. Пусть u(x) = x² и v(x) = (x + 2)². Тогда производная будет:
• u'(x) = 2x
• v'(x) = 2(x + 2)

Производная функции f(x) будет равна:

f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2x(x + 2)² + x² * 2(x + 2)

Упрощаем выражение:

f'(x) = 2x(x + 2)² + 2x²(x + 2)

f'(x) = 2x(x + 2)(x + 2) + 2x²(x + 2)

f'(x) = 2x(x + 2)(x + 2 + x)

f'(x) = 2x(x + 2)(2x + 2)

2. Вычислить значение функции в x = -1:

f(-1) = (-1)²((-1) + 2)² = 1 * 1 = 1

3. Вычислить значение производной в x = -1:

f'(-1) = 2(-1)((-1) + 2)((-2) + 2) = 2(-1)(1)(0) = 0

4. Записать уравнение касательной:

Уравнение касательной в точке (x₀, y₀) с наклоном m записывается как:

y - y₀ = m(x - x₀)

Подставляем наши значения: x₀ = -1, y₀ = 1, m = 0

y - 1 = 0(x + 1)

y = 1

Таким образом, уравнение касательной к функции в точке x = -1 будет y = 1. Это горизонтальная линия, проходящая через точку (x = -1, y = 1).