Свойства степенного ряда и его суммы.

Другие предметы Университет Степенные ряды степенной ряд свойства степенного ряда сумма степенного ряда математический анализ университет ряд и его свойства конвергенция рядов анализ рядов математические свойства теорема о степенных рядах Новый

Степенной ряд — это бесконечная сумма вида:

Сумма степенного ряда:

Сумма степенного ряда имеет вид:

Σ (n=0 до ∞) a_n * x^n,

где a_n — коэффициенты ряда, x — переменная, а n — индекс, который принимает целые неотрицательные значения.

Свойства степенного ряда:

• Сходимость: Степенной ряд сходится для определенного значения x, которое зависит от коэффициентов a_n. Существуют радиус и интервал сходимости.
• Радиус сходимости: Радиус сходимости R определяется как:
1. R = 1 / lim sup (n→∞) |a_n|^(1/n), если lim sup существует.
2. Если R > 0, то ряд сходится для |x| < R и расходится для |x| > R.
3. На границах |x| = R сходимость может быть как абсолютной, так и условной или ряд может расходиться.
• Сумма ряда: Если ряд сходится, то его сумма S(x) может быть выражена как функция от x. Например, для ряда Σ (n=0 до ∞) x^n, сумма будет S(x) = 1 / (1 - x), при |x| < 1.
• Производная и интеграл: Можно вычислять производную и интеграл степенного ряда по членам. Если ряд сходится, то:
1. Производная: S'(x) = Σ (n=1 до ∞) n * a_n * x^(n-1).
2. Интеграл: ∫ S(x) dx = Σ (n=0 до ∞) (a_n / (n+1)) * x^(n+1) + C, где C — константа интегрирования.

Пример:

Рассмотрим степенной ряд Σ (n=0 до ∞) x^n. Этот ряд сходится при |x| < 1. Сумма ряда равна S(x) = 1 / (1 - x) для |x| < 1. Если мы возьмем производную, то получим:

S'(x) = Σ (n=1 до ∞) n * x^(n-1) = 1 / (1 - x)^2, что является производной суммы.

Таким образом, степенные ряды являются мощным инструментом в математическом анализе, позволяя представлять функции и исследовать их свойства через сходимость, производные и интегралы.