Связь между упругими характеристиками материала G, E, μ. Вывод зависимости.

Другие предметы Университет Упругие характеристики материалов упругие характеристики материала связь G E μ зависимости упругих характеристик сопротивление материалов механика материалов физика материалов материалы и их свойства модуль Юнга модуль сдвига Коэффициент Пуассона Новый

Упругие характеристики материала, такие как модуль сдвига (G), модуль Юнга (E) и коэффициент Пуассона (μ), связаны между собой и описывают его поведение под нагрузкой. Давайте разберем, как они связаны, и выведем соответствующие зависимости.

1. Определения:

• Модуль Юнга (E): Это мера жесткости материала, определяющая отношение напряжения к относительной деформации в осевом направлении.
• Модуль сдвига (G): Это мера жесткости материала при сдвиговых деформациях, определяющая отношение сдвигового напряжения к угловой деформации.
• Коэффициент Пуассона (μ): Это отношение поперечной деформации к продольной деформации, возникающей при растяжении или сжатии.

2. Связь между характеристиками:

Для изотропных материалов (материалов, свойства которых одинаковы в разных направлениях) существует связь между этими модульными характеристиками. Основная формула, связывающая E, G и μ, выглядит следующим образом:

G = E / [2(1 + μ)]

или

E = 2G(1 + μ)

или

μ = (E / (2G)) - 1

3. Вывод зависимости:

1. Начнем с определения модулей. Мы знаем, что для малых деформаций, модуль Юнга (E) и модуль сдвига (G) могут быть связаны через коэффициент Пуассона (μ).
2. При растяжении материала, если мы обозначим σ как напряжение, ε как продольную деформацию, то по определению модуля Юнга имеем:
• σ = E * ε
3. Для поперечной деформации (например, при растяжении) можно записать:
• ε_t = -μ * ε
4. С учетом того, что сдвиговое напряжение τ связано с угловой деформацией γ через модуль сдвига, мы можем записать:
• τ = G * γ
5. С учетом малых деформаций, можно показать, что:
• γ = 2 * ε_t = -2μ * ε
• τ = G * (-2μ * ε)
6. Теперь, используя эти выражения, мы можем выразить G через E и μ, что и дает нам искомые зависимости.

Таким образом, мы видим, что модуль сдвига G, модуль Юнга E и коэффициент Пуассона μ взаимосвязаны и могут быть использованы для описания упругих свойств материалов. Эти зависимости особенно важны при расчете конструкций и анализе механического поведения материалов.