Тело ограничено сверху поверхностью z=5y. Боковая поверхность тела параллельна оси OZ. Основание тела – область D на плоскости XOY, которая ограничена линиями y=1; y=x²; x=0; x=1.
Тогда объём тела равен

Другие предметы Университет Интегралы в пространстве Объём тела математика университет интегралы площадь основания функции ограниченные поверхности области в плоскости задачи по математике высота тела Новый

Для нахождения объема тела, ограниченного заданными поверхностями, мы можем использовать двойной интеграл. Давайте разберем все шаги решения.

Шаг 1: Определение области D

Область D на плоскости XOY ограничена следующими линиями:

• y = 1 (горизонтальная линия)
• y = x^2 (парабола)
• x = 0 (вертикальная ось)
• x = 1 (вертикальная линия)

Теперь найдем точки пересечения линий y = 1 и y = x^2:

• Поставим y = 1 в уравнение y = x^2:
• 1 = x^2, отсюда x = 1 или x = -1. Но так как x ограничен от 0 до 1, принимаем x = 1.

Таким образом, область D ограничена следующими границами:

• Слева: x = 0
• Справа: x = 1
• Снизу: y = x^2
• Сверху: y = 1

Шаг 2: Запись двойного интеграла для объема

Объем V тела можно выразить через двойной интеграл:

V = ∬_D (z) dA, где z = 5y.

Таким образом, объем будет равен:

V = ∬_D (5y) dA.

Шаг 3: Определение пределов интегрирования

Поскольку x изменяется от 0 до 1, и для фиксированного x значение y изменяется от y = x^2 до y = 1, пределы интегрирования будут:

• x: от 0 до 1
• y: от x^2 до 1

Шаг 4: Запись двойного интеграла с пределами

Теперь мы можем записать двойной интеграл:

V = ∫(от 0 до 1) ∫(от x^2 до 1) (5y) dy dx.

Шаг 5: Вычисление внутреннего интеграла

Вычислим внутренний интеграл по y:

∫(от x^2 до 1) (5y) dy = 5 * [y^2/2] (от x^2 до 1) = 5 * [1/2 - (x^2)^2/2] = 5 * [1/2 - x^4/2] = (5/2)(1 - x^4).

Шаг 6: Вычисление внешнего интеграла

Теперь подставим результат внутреннего интеграла в внешний интеграл:

V = ∫(от 0 до 1) (5/2)(1 - x^4) dx.

Теперь вычислим этот интеграл:

• V = (5/2) * [x - x^5/5] (от 0 до 1) = (5/2) * [1 - 1/5] = (5/2) * (4/5) = 4/2 = 2.

Ответ: Объем тела равен 2.