Теорема о замене переменных в тройном интеграле.

Другие предметы Университет Тройные интегралы теорема о замене переменных тройной интеграл математический анализ университет интегралы в математике методы интегрирования анализ функций высшая математика Новый

Теорема о замене переменных в тройном интеграле является важным инструментом в математическом анализе, позволяющим упростить вычисления интегралов в многомерных пространствах. Давайте разберем основные моменты этой теоремы.

Формулировка теоремы:

Пусть у нас есть тройной интеграл вида:

∫∫∫_D f(x, y, z) dV,

где D - область интегрирования, а f - функция, которую мы интегрируем.

Если мы делаем замену переменных:

(x, y, z) = (u(u1, u2, u3), v(u1, u2, u3), w(u1, u2, u3)),

где (u1, u2, u3) - новые переменные, и J - якобиан преобразования, то интеграл можно записать как:

∫∫∫_D' f(g(u1, u2, u3)) |J| du1 du2 du3,

где D' - новая область интегрирования, а |J| - модуль определителя якобиана.

Шаги решения:

1. Определите старые и новые переменные: Выберите подходящие новые переменные (u1, u2, u3) и запишите их зависимости от старых переменных (x, y, z).
2. Вычислите якобиан: Найдите определитель матрицы Якоби, которая содержит частные производные новых переменных по старым. Это необходимо для корректного преобразования объема.
3. Определите новую область интегрирования: Найдите область D' в новых переменных, которая соответствует старой области D.
4. Запишите новый интеграл: Подставьте функцию и якобиан в новый интеграл, используя новые переменные и область интегрирования.
5. Вычислите интеграл: Выполните интегрирование по новым переменным.

Пример:

Рассмотрим интеграл:

∫∫∫_D (x^2 + y^2 + z^2) dV,

где D - единичный куб. Мы можем использовать замену переменных в сферических координатах:

x = r*sin(φ)*cos(θ), y = r*sin(φ)*sin(θ), z = r*cos(φ).

После нахождения якобиана и определения новой области интегрирования, мы можем записать интеграл в новых переменных и вычислить его.

Таким образом, теорема о замене переменных в тройном интеграле позволяет упростить вычисления и сделать их более удобными для анализа. Понимание этой теоремы является ключевым для работы с многомерными интегралами.