Теорема об оценке по модулю является важным инструментом в теоретической механике и математике в целом. Она позволяет оценить величину различий между двумя величинами, а также помогает в анализе устойчивости систем. Давайте рассмотрим теорему и её доказательство.

Если у нас есть две функции f(x) и g(x), которые определены на некотором интервале, и существует константа M, такая что для всех x из этого интервала выполняется неравенство:

• |f(x)| ≤ M для всех x из интервала,
• |g(x)| ≤ M для всех x из интервала,

то для их суммы и разности выполняется:

• |f(x) + g(x)| ≤ 2M,
• |f(x) - g(x)| ≤ 2M.

Теперь давайте перейдем к доказательству этой теоремы.

1. Рассмотрим сумму двух функций: |f(x) + g(x)|. По свойству треугольника мы знаем, что:
• |f(x) + g(x)| ≤ |f(x)| + |g(x)|.
2. Подставим в неравенство оценки для f(x) и g(x):
• |f(x)| + |g(x)| ≤ M + M = 2M.
3. Таким образом, мы получаем:
• |f(x) + g(x)| ≤ 2M.
4. Теперь рассмотрим разность двух функций: |f(x) - g(x)|. Также применим неравенство треугольника:
• |f(x) - g(x)| ≤ |f(x)| + |g(x)|.
5. Снова подставим оценки для f(x) и g(x):
• |f(x)| + |g(x)| ≤ M + M = 2M.
6. Таким образом, мы получаем:
• |f(x) - g(x)| ≤ 2M.

Таким образом, мы доказали, что если обе функции ограничены модулем M, то их сумма и разность также ограничены модулем 2M.

Эта теорема полезна в различных приложениях, включая анализ устойчивости механических систем и в численных методах. Она позволяет нам оценить поведение системы при изменении параметров.