Теорема об оценке, также известная как теорема о сходимости интегралов, является важным инструментом в анализе. Она позволяет оценивать значения интегралов, основываясь на свойствах функций, которые интегрируются. Давайте рассмотрим ее формулировку и доказательство.

Формулировка теоремы об оценке:

Пусть f(x) — непрерывная на отрезке [a, b] функция, и существует константа M, такая что |f(x)| ≤ M для всех x из [a, b]. Тогда:

1. Если f(x) интегрируема на [a, b], то:

∣∫_a^b f(x) dx∣ ≤ M(b - a).

Доказательство:

1. Поскольку функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], она ограничена, и мы можем найти такое значение M, что |f(x)| ≤ M для всех x из [a, b].
2. Рассмотрим определенный интеграл ∫_a^b f(x) dx. По свойству интеграла, мы можем оценить его модуль:
3. По определению модуля интеграла, имеем:

∣∫_a^b f(x) dx∣ = ∣∫_a^b f(x) dx∣ ≤ ∫_a^b |f(x)| dx.

4. Так как |f(x)| ≤ M для всех x из [a, b], мы можем заменить |f(x)| на M в интеграле:

∫_a^b |f(x)| dx ≤ ∫_a^b M dx.

5. Интеграл ∫_a^b M dx равен M(b - a), так как M — константа:

∫_a^{b M dx = M(b - a).}

6. Таким образом, мы получаем:

∣∫_a^{b f(x) dx∣ ≤ ∫_ab |f(x)| dx ≤ M(b - a).}

7. В результате мы доказали, что ∣∫_a^b f(x) dx∣ ≤ M(b - a), что завершает доказательство теоремы.

Таким образом, теорема об оценке позволяет нам получить верхнюю границу для значения интеграла функции, основываясь на ее ограниченности на заданном интервале. Это очень полезно при анализе сходимости интегралов и в других областях математического анализа.