Теорема Остроградского-Гаусса, также известная как теорема о дивергенции, является важным результатом векторного анализа, который связывает поток векторного поля через поверхность с дивергенцией этого поля в объеме. Формулировка теоремы звучит следующим образом:

Теорема Остроградского-Гаусса: Пусть V - ограниченный объем в пространстве, а S - его граница (поверхность), ориентированная наружу. Если векторное поле F = (P, Q, R) имеет непрерывные частные производные на объеме V, то:

∬_S F · n dS = ∭_V div F dV,

где n - нормальный вектор к поверхности S, а div F - дивергенция векторного поля F.

Теперь давайте рассмотрим доказательство этой теоремы.

Доказательство:

1. Определение дивергенции: Дивергенция векторного поля F = (P, Q, R) определяется как:
• div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z.
2. Построение объема: Рассмотрим объем V, который мы можем разбить на маленькие элементы (например, кубики) с помощью метода интегрирования по частям.
3. Применение теоремы о границах: Для каждого из этих маленьких объемов мы можем применить формулу для потока через границу:
• Суммируя потоки через границы всех маленьких объемов, мы получаем общий поток через поверхность S, которая является границей всего объема V.
4. Использование формулы Гаусса: Для каждого маленького кубика мы можем записать:
• ∬_S F · n dS = ∭_V div F dV,
• где S - граница кубика, а V - сам кубик.
5. Суммирование: Суммируя все маленькие объемы, мы получаем:
• Поток через всю поверхность S равен интегралу дивергенции по всему объему V.
6. Заключение: Таким образом, мы приходим к итоговому равенству:
• ∬_S F · n dS = ∭_V div F dV.

Таким образом, мы доказали теорему Остроградского-Гаусса, которая связывает поток векторного поля через поверхность с дивергенцией этого поля в объеме. Эта теорема имеет множество применений в физике и инженерии, особенно в области электромагнетизма и гидродинамики.