2025-08-27 05:41:01
Укажите уравнение окружности, центр которой совпадает с началом координат, а прямая 3x-4y+20=0 является касательной к окружности
- x^2+y^2=16
- x^2 +y^2 =8
- x^2+y^2=9
- x^2-y^2=16
Другие предметы Университет Уравнения окружности и касательные к ним уравнение окружности касательная прямая высшая математика начало координат университет задача по математике Новый
2025-08-27 05:41:08
Для того чтобы решить задачу, начнем с анализа данных, которые нам даны. Мы знаем, что окружность имеет центр в начале координат (0, 0), и нам нужно найти её уравнение.
Уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид:
x^2 + y^2 = r^2,
где r — радиус окружности.
Далее, у нас есть прямая, которая задана уравнением:
3x - 4y + 20 = 0.
Чтобы найти радиус окружности, мы должны определить расстояние от центра окружности (0, 0) до этой прямой. Это расстояние будет равно радиусу, так как прямая является касательной к окружности.
Формула для нахождения расстояния d от точки (x0, y0) до прямой Ax + By + C = 0 выглядит следующим образом:
d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2.
В нашем случае:
- A = 3
- B = -4
- C = 20
Подставим координаты точки (0, 0) в формулу:
d = |3*0 - 4*0 + 20| / sqrt(3^2 + (-4)^2).
Упрощаем выражение:
d = |20| / sqrt(9 + 16) = 20 / sqrt(25) = 20 / 5 = 4.
Таким образом, расстояние от центра окружности до прямой равно 4. Это и есть радиус окружности, то есть r = 4.
Теперь подставим значение радиуса в уравнение окружности:
x^2 + y^2 = r^2
x^2 + y^2 = 4^2
x^2 + y^2 = 16.
Таким образом, уравнение окружности, центр которой совпадает с началом координат и которая касается заданной прямой, будет:
x^2 + y^2 = 16.
