Давайте разберем каждое из предложенных утверждений по отдельности и определим, какие из них верны.

• Матрицы операторов A и сопряженного ему оператора A* имеют разный характеристический многочлен.

  Это утверждение неверно. Для любого линейного оператора A и его сопряженного оператора A* их характеристические многочлены совпадают. Это связано с тем, что собственные значения A и A* одинаковы, и поэтому их многочлены также совпадают.

• Матрицы операторов A и сопряженного к нему A* связаны соотношением A* = (A)T.

  Это утверждение верно, но только для операторов на конечномерных векторных пространствах, где A* обозначает сопряженный оператор. В этом случае A* действительно равен транспонированной матрице A, если мы рассматриваем стандартное скалярное произведение.

• Для самосопряженного оператора не существует базиса, в котором его матрица будет диагональной.

  Это утверждение неверно. На самом деле, для самосопряженного оператора всегда существует базис, в котором его матрица будет диагональной. Это следует из теоремы о диагонализируемости самосопряженных операторов, которая утверждает, что такие операторы имеют полную систему ортогональных собственных векторов.

• Для самосопряженного оператора собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

  Это утверждение верно. Одним из свойств самосопряженных операторов является то, что собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, являются ортогональными. Это свойство делает самосопряженные операторы особенно важными в линейной алгебре и в приложениях.

Таким образом, верными являются второе и четвертое утверждения:

• Матрицы операторов A и сопряженного к нему A* связаны соотношением A* = (A)T.
• Для самосопряженного оператора собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.