2025-08-04 03:57:41
Укажите все верные утверждения
- Канонический базис существует только для положительно определенных квадратичных форм,
- Определитель ортогональной матрацы равен либо единице, либо минус единице.
- При ортогональном преобразовании меняются углы между векторами.
- Ортогональный оператор сохраняет норму вектора,
Другие предметы Университет Ортогональные преобразования и квадратичные формы линейная алгебра аналитическая геометрия канонический базис положительно определенные квадратичные формы определитель матрицы ортогональная матрица ортогональное преобразование углы между векторами ортогональный оператор сохранение нормы вектора
2025-08-04 03:58:11
Давайте разберем каждое из приведенных утверждений и определим, какие из них верны.
- Канонический базис существует только для положительно определенных квадратичных форм.
Это утверждение неверно. Канонический базис может быть найден для любой квадратичной формы, не только для положительно определенных. Для квадратичных форм, которые не являются положительно определенными, также могут быть найдены канонические формы, но с некоторыми особенностями. Например, в случае неположительно определенных форм могут возникать дополнительные условия. - Определитель ортогональной матрицы равен либо единице, либо минус единице.
Это утверждение верно. Ортогональная матрица определяется свойством, что произведение матрицы на ее транспонированную матрицу равно единичной матрице. Это приводит к тому, что определитель ортогональной матрицы может принимать только значения 1 или -1. - При ортогональном преобразовании меняются углы между векторами.
Это утверждение неверно. Ортогональные преобразования сохраняют углы между векторами. Это одно из ключевых свойств ортогональных матриц: они сохраняют длины векторов и углы между ними. - Ортогональный оператор сохраняет норму вектора.
Это утверждение верно. Ортогональные преобразования, как уже упоминалось, сохраняют длины (нормы) векторов. Если вектор преобразуется с помощью ортогонального оператора, его норма останется неизменной.
Таким образом, верные утверждения из приведенных:
- Определитель ортогональной матрицы равен либо единице, либо минус единице.
- Ортогональный оператор сохраняет норму вектора.