2025-08-04 03:56:31
Укажите все верные утверждения
- Любой ортонормированный базис En под действием ортогонального оператора преобразуется в новый ортонормированный базис.
- Линейный оператор является ортогональным тогда и только тогда, когда ему соответствует диагональная матрица.
- Если исходная и транспонированная матрицы равны: А = АТ, то матрица А является ортогональной.
- Если матрица А симметрическая, то существуют такие ортогональная матрица U и диагональная матрица А’, которые связаны соотношением А’=UTAU
Другие предметы Университет Ортогональные операторы и матрицы линейная алгебра аналитическая геометрия ортонормированный базис ортогональный оператор линейный оператор диагональная матрица симметрическая матрица матрица А ортогональная матрица соотношение А’=UTAU
2025-08-04 03:56:50
Давайте разберем каждое утверждение по отдельности и определим, какие из них верные.
-
Любой ортонормированный базис En под действием ортогонального оператора преобразуется в новый ортонормированный базис.
Это утверждение верно. Ортогональный оператор сохраняет длины векторов и угол между ними. Если мы применим ортогональный оператор к ортонормированному базису, то полученные векторы также будут ортонормированными. Таким образом, результатом будет новый ортонормированный базис.
-
Линейный оператор является ортогональным тогда и только тогда, когда ему соответствует диагональная матрица.
Это утверждение неверно. Ортогональный оператор определяется как оператор, который сохраняет скалярное произведение, и его матрица должна удовлетворять условию A^T * A = I, где I - единичная матрица. Ортогональная матрица не обязательно должна быть диагональной. Например, поворот в плоскости является ортогональным оператором, но его матрица не является диагональной.
-
Если исходная и транспонированная матрицы равны: A = A^T, то матрица A является ортогональной.
Это утверждение неверно. Если матрица A равна своей транспонированной, то она симметрична, но это не означает, что она ортогональна. Для матрицы, чтобы быть ортогональной, она должна удовлетворять условию A^T * A = I.
-
Если матрица A симметрическая, то существуют такие ортогональная матрица U и диагональная матрица A’, которые связаны соотношением A’=U^T A U.
Это утверждение верно. По теореме о спектральном разложении, любая симметрическая матрица может быть представлена в виде U^T A U, где U - ортогональная матрица, а A' - диагональная матрица, содержащая собственные значения матрицы A. Это позволяет нам диагонализировать симметрические матрицы с помощью ортогональных преобразований.
Таким образом, верные утверждения: первое и четвертое.