2025-04-08 22:40:43
В соответствии с техническими условиями среднее время безотказной работы приборов из большой партии должно составлять не менее 1000 ч со средним квадратичным отклонением 100 ч. Значение выборочного среднего времени безотказной работы для случайно отобранных 25 приборов оказалось равным 970 ч. Предположим, что среднее квадратичное времени безотказной работы для приборов в выборке совпадает со средним квадратичным во всей партии, а контролируемая характеристика имеет нормальное распределение. Выясните, можно ли считать, что вся партия приборов не удовлетворяет техническим условиям, если: а) α = 0,1; б) α = 0,01
Другие предметы Университет Статистическая проверка гипотез теория вероятностей математическая статистика университет выборочное среднее среднее квадратичное отклонение нормальное распределение Гипотеза контроль качества статистическая проверка уровень значимости
2025-04-08 22:41:05
Для решения задачи мы будем использовать метод проверки гипотез. Мы установим нулевую гипотезу и альтернативную гипотезу, а затем применим критерий для проверки этих гипотез.
1. Формулировка гипотез:
- Нулевая гипотеза (H0): Среднее время безотказной работы приборов равно 1000 ч (μ = 1000).
- Альтернативная гипотеза (H1): Среднее время безотказной работы приборов меньше 1000 ч (μ < 1000).
2. Данные:
- Выборочное среднее (X̄) = 970 ч
- Объем выборки (n) = 25
- Среднее квадратичное отклонение (σ) = 100 ч
3. Вычисление стандартной ошибки:
Стандартная ошибка (SE) вычисляется по формуле:
SE = σ / √n = 100 / √25 = 100 / 5 = 20.
4. Вычисление статистики теста:
Статистика теста (Z) вычисляется по формуле:
Z = (X̄ - μ) / SE = (970 - 1000) / 20 = -30 / 20 = -1.5.
5. Определение критических значений:
Теперь мы должны определить критические значения для уровня значимости α = 0,1 и α = 0,01.
Для α = 0,1:
Критическое значение Z для одностороннего теста при α = 0,1 составляет -1.28 (можно найти в таблице стандартного нормального распределения).
Для α = 0,01:
Критическое значение Z для одностороннего теста при α = 0,01 составляет -2.33.
6. Сравнение статистики теста с критическими значениями:
- Для α = 0,1: Z = -1.5 < -1.28. Мы отвергаем H0.
- Для α = 0,01: Z = -1.5 > -2.33. Мы не отвергаем H0.
7. Вывод:
На основании проведенного анализа:
- При уровне значимости α = 0,1 мы можем утверждать, что вся партия приборов не удовлетворяет техническим условиям.
- При уровне значимости α = 0,01 у нас недостаточно оснований для того, чтобы отвергнуть гипотезу о том, что среднее время безотказной работы равно 1000 ч.
Таким образом, ответ на ваш вопрос:
- а) При α = 0,1 - партия не удовлетворяет техническим условиям.
- б) При α = 0,01 - партия может удовлетворять техническим условиям.
