В соответствии с техническими условиями среднее время безотказной работы приборов из большой партии должно составлять не менее 1000 ч со средним квадратичным отклонением 100 ч. Значение выборочного среднего времени безотказной работы для случайно отобранных 25 приборов оказалось равным 970 ч. Предположим, что среднее квадратичное времени безотказной работы для приборов в выборке совпадает со средним квадратичным во всей партии, а контролируемая характеристика имеет нормальное распределение. Выясните, можно ли считать, что вся партия приборов не удовлетворяет техническим условиям, если: а) α = 0,1; б) α = 0,01

Другие предметы Университет Статистическая проверка гипотез теория вероятностей математическая статистика университет выборочное среднее среднее квадратичное отклонение нормальное распределение Гипотеза контроль качества статистическая проверка уровень значимости Новый

Для решения задачи мы будем использовать метод проверки гипотез. Мы установим нулевую гипотезу и альтернативную гипотезу, а затем применим критерий для проверки этих гипотез.

1. Формулировка гипотез:

• Нулевая гипотеза (H0): Среднее время безотказной работы приборов равно 1000 ч (μ = 1000).
• Альтернативная гипотеза (H1): Среднее время безотказной работы приборов меньше 1000 ч (μ < 1000).

2. Данные:

• Выборочное среднее (X̄) = 970 ч
• Объем выборки (n) = 25
• Среднее квадратичное отклонение (σ) = 100 ч

3. Вычисление стандартной ошибки:

Стандартная ошибка (SE) вычисляется по формуле:

SE = σ / √n = 100 / √25 = 100 / 5 = 20.

4. Вычисление статистики теста:

Статистика теста (Z) вычисляется по формуле:

Z = (X̄ - μ) / SE = (970 - 1000) / 20 = -30 / 20 = -1.5.

5. Определение критических значений:

Теперь мы должны определить критические значения для уровня значимости α = 0,1 и α = 0,01.

Для α = 0,1:

Критическое значение Z для одностороннего теста при α = 0,1 составляет -1.28 (можно найти в таблице стандартного нормального распределения).

Для α = 0,01:

Критическое значение Z для одностороннего теста при α = 0,01 составляет -2.33.

6. Сравнение статистики теста с критическими значениями:

• Для α = 0,1: Z = -1.5 < -1.28. Мы отвергаем H0.
• Для α = 0,01: Z = -1.5 > -2.33. Мы не отвергаем H0.

7. Вывод:

На основании проведенного анализа:

• При уровне значимости α = 0,1 мы можем утверждать, что вся партия приборов не удовлетворяет техническим условиям.
• При уровне значимости α = 0,01 у нас недостаточно оснований для того, чтобы отвергнуть гипотезу о том, что среднее время безотказной работы равно 1000 ч.

Таким образом, ответ на ваш вопрос:

• а) При α = 0,1 - партия не удовлетворяет техническим условиям.
• б) При α = 0,01 - партия может удовлетворять техническим условиям.