Давайте решим данное уравнение шаг за шагом. У нас есть уравнение:

√(x + 3) - √(2 - x) = 1

Первый шаг — изолировать один из корней. Мы можем перенести √(2 - x) на правую сторону уравнения:

√(x + 3) = 1 + √(2 - x)

Теперь мы можем возвести обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня. При этом важно помнить, что при возведении в квадрат могут появиться дополнительные решения, которые нужно будет проверить позже. Возводим в квадрат:

(√(x + 3))² = (1 + √(2 - x))²

Это дает нам:

x + 3 = 1 + 2√(2 - x) + (2 - x)

Упрощаем правую часть:

x + 3 = 3 - x + 2√(2 - x)

Теперь соберем все x на одной стороне уравнения. Переносим x и 3 на правую сторону:

2x = 2√(2 - x)

Теперь упростим уравнение, разделив обе стороны на 2:

x = √(2 - x)

Снова возводим обе стороны в квадрат:

x² = 2 - x

Теперь приводим уравнение к стандартному виду:

x² + x - 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае a = 1, b = 1, c = -2. Подставляем значения:

x = (-1 ± √(1² - 4 * 1 * (-2))) / (2 * 1)

Считаем дискриминант:

D = 1 + 8 = 9

Теперь подставляем дискриминант в формулу:

x = (-1 ± 3) / 2

Это дает два решения:

1. x₁ = (2) / 2 = 1
2. x₂ = (-4) / 2 = -2

Теперь нам нужно проверить оба решения в исходном уравнении, чтобы убедиться, что они не приводят к ошибкам:

1. Проверим x = 1:

√(1 + 3) - √(2 - 1) = √4 - √1 = 2 - 1 = 1. Это верно.

2. Проверим x = -2:

√(-2 + 3) - √(2 - (-2)) = √1 - √4 = 1 - 2 = -1. Это не верно.

Таким образом, единственное решение уравнения:

x = 1