2025-07-21 21:39:54
В урне один белый и пять черных шаров. Два игрока по очереди вынимают из урны шар и возвращают его обратно, после чего шары в урне перемешиваются. Выигрывает тот, кто первый извлекает белый шар. Какова вероятность того, что выиграет игрок, начинающий игру?
Другие предметы Университет Вероятностные игры вероятность выигрыша теория вероятностей математическая статистика игра с шарами белый шар черные шары два игрока случайные события стратегические игры анализ вероятностей
2025-07-21 21:40:19
Для решения данной задачи мы будем использовать понятие вероятности и последовательности событий. Давайте рассмотрим ситуацию более подробно.
В урне у нас есть 1 белый шар и 5 черных шаров, всего 6 шаров. Вероятность того, что игрок, начинающий игру, вытащит белый шар с первого раза, равна:
- Вероятность вытащить белый шар = количество белых шаров / общее количество шаров = 1/6.
Если первый игрок не вытянул белый шар (что происходит с вероятностью 5/6), то ход переходит ко второму игроку. Теперь второй игрок также имеет вероятность 1/6 вытащить белый шар. Если он не вытянет белый шар (с вероятностью 5/6), то ход снова переходит к первому игроку.
Таким образом, игра продолжается до тех пор, пока один из игроков не вытащит белый шар. Теперь давайте обозначим вероятность выигрыша первого игрока как P.
С учетом вышеизложенного, мы можем записать уравнение для вероятности P:
- P = вероятность первого игрока выиграть с первого хода + вероятность первого игрока выиграть во втором раунде и далее.
Это можно записать как:
- P = (1/6) + (5/6) * (5/6) * P.
Здесь (5/6) * (5/6) - это вероятность того, что оба игрока не вытянули белый шар в первом раунде, после чего игра продолжается, и вероятность выигрыша первого игрока остается P.
Теперь давайте упростим это уравнение:
- Переносим P на одну сторону: P - (25/36)P = 1/6.
- Собираем коэффициенты: (11/36)P = 1/6.
- Теперь делим обе стороны на (11/36): P = (1/6) / (11/36).
- Умножаем на обратную дробь: P = (1/6) * (36/11) = 6/11.
Таким образом, вероятность того, что выиграет игрок, начинающий игру, равна 6/11.
Ответ: Вероятность того, что выиграет первый игрок, составляет 6/11.
