2025-05-17 18:12:01
Вопрос 1 из 15
Что необходимо и достаточно для устойчивости "в малом" положения равновесия линейной системы в не особых случаях?
- наличие корней характеристического уравнения линеаризованной модели с нулевой действительной частью
- наличие корней характеристического уравнения линеаризованной модели с отрицательной действительной частью
- наличие корней характеристического уравнения линеаризованной модели с положительной действительной частью
Другие предметы Университет Устойчивость линейных систем устойчивость в малом линейная система характеристическое уравнение равновесие корни уравнения не особые случаи линеаризованная модель
2025-05-17 18:12:08
Для устойчивости "в малом" положения равновесия линейной системы в не особых случаях необходимо и достаточно наличие корней характеристического уравнения линеаризованной модели с отрицательной действительной частью.
Теперь давайте разберем, почему это так:
- Определение устойчивости "в малом": Устойчивость "в малом" означает, что система возвращается к своему равновесному состоянию после небольших возмущений. То есть, если система начинает отклоняться от равновесия, она должна иметь тенденцию вернуться обратно.
- Характеристическое уравнение: При анализе линейных систем мы часто используем характеристическое уравнение, которое получается из матрицы системы. Корни этого уравнения (называемые собственными значениями) определяют динамику системы.
- Действительная часть корней:
- Если у корней характеристического уравнения есть отрицательная действительная часть, это значит, что соответствующие экспоненциальные члены в решении системы будут убывать во времени. Это и обеспечивает возвращение системы к равновесию.
- Если у корней есть нулевая действительная часть, то система будет находиться в состоянии равновесия, но не будет возвращаться к нему (например, в случае колебаний).
- Если у корней есть положительная действительная часть, система будет уходить от равновесия, что приводит к неустойчивости.
Таким образом, для обеспечения устойчивости "в малом" необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения линеаризованной модели имели отрицательную действительную часть.
