Вопрос 1 из 15
Что необходимо и достаточно для устойчивости "в малом" положения равновесия линейной системы в не особых случаях?

• наличие корней характеристического уравнения линеаризованной модели с нулевой действительной частью
• наличие корней характеристического уравнения линеаризованной модели с отрицательной действительной частью
• наличие корней характеристического уравнения линеаризованной модели с положительной действительной частью

Другие предметы Университет Устойчивость линейных систем устойчивость в малом линейная система характеристическое уравнение равновесие корни уравнения не особые случаи линеаризованная модель Новый

Для устойчивости "в малом" положения равновесия линейной системы в не особых случаях необходимо и достаточно наличие корней характеристического уравнения линеаризованной модели с отрицательной действительной частью.

Теперь давайте разберем, почему это так:

1. Определение устойчивости "в малом": Устойчивость "в малом" означает, что система возвращается к своему равновесному состоянию после небольших возмущений. То есть, если система начинает отклоняться от равновесия, она должна иметь тенденцию вернуться обратно.
2. Характеристическое уравнение: При анализе линейных систем мы часто используем характеристическое уравнение, которое получается из матрицы системы. Корни этого уравнения (называемые собственными значениями) определяют динамику системы.
3. Действительная часть корней:
   • Если у корней характеристического уравнения есть отрицательная действительная часть, это значит, что соответствующие экспоненциальные члены в решении системы будут убывать во времени. Это и обеспечивает возвращение системы к равновесию.
   • Если у корней есть нулевая действительная часть, то система будет находиться в состоянии равновесия, но не будет возвращаться к нему (например, в случае колебаний).
   • Если у корней есть положительная действительная часть, система будет уходить от равновесия, что приводит к неустойчивости.

Таким образом, для обеспечения устойчивости "в малом" необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения линеаризованной модели имели отрицательную действительную часть.