Давайте проанализируем каждое из утверждений по отдельности и выясним, какое из них является верным.

• Первое утверждение: "Дифференциал функции z=f(х, у) есть приращение аппликаты точки, принадлежащей касательной плоскости к поверхности в точке."

  Это утверждение верно. Дифференциал функции z=f(x, y) действительно представляет собой линейное приближение изменения функции в окрестности данной точки. Он описывает, как меняется значение функции при малых изменениях переменных x и y, и соответствует приращению аппликаты точки на касательной плоскости к поверхности.

• Второе утверждение: "Для поверхности z=f(х, у) производная в точке М(1; -1) по направлению МN к точке N(1; 0) равна частной производной по х."

  Это утверждение неверно. Производная по направлению в точке зависит не только от частной производной по x, но и от частной производной по y, а также от направления самого вектора MN. Для вычисления производной по направлению необходимо использовать градиент функции и скалярное произведение с направляющим вектором.

• Третье утверждение: "Для поверхности, заданной уравнением x²+y²-z²=1, в точках пересечения с осью Ох не существует касательных плоскостей."

  Это утверждение также неверно. Чтобы определить, существуют ли касательные плоскости, необходимо найти точки пересечения с осью OX, подставив y=0 и z=0 в уравнение. Получается x²=1, что дает точки (1, 0, 0) и (-1, 0, 0). В этих точках можно вычислить частные производные, и касательные плоскости существуют.

• Четвертое утверждение: "Для функции, заданной неявно x³y²=0, вторая производная равна y/x."

  Это утверждение неверно. Уравнение x³y²=0 подразумевает, что либо x=0, либо y=0. В зависимости от того, какую переменную мы рассматриваем, вторая производная будет определяться иначе. Необходимо провести более детальный анализ, чтобы получить правильное значение второй производной, и утверждение о том, что она равна y/x, не является корректным.

Таким образом, верным является первое утверждение.