2025-08-04 03:55:57
Выберите все верные утверждения.
- Если система содержит нулевой вектор, то она является линейно зависимой
- Число, равное максимальному количеству линейно независимых векторов этого пространства называется размерностью линейного пространства
- Любая система линейно независимых векторов в линейном пространстве является ее базисом
- Любой вектор линейного пространства можно представить в виде линейной комбинации произвольного базиса этого пространства
- В пространстве векторов Vn базис определяется единственным образом
Другие предметы Университет Линейная зависимость и независимость векторов линейная алгебра аналитическая геометрия линейная зависимость размерность пространства линейно независимые векторы базис линейного пространства линейные комбинации векторы Vn утверждения линейной алгебры свойства базиса
2025-08-04 03:56:16
Давайте рассмотрим каждое из утверждений по отдельности и выясним, какие из них верные.
-
Если система содержит нулевой вектор, то она является линейно зависимой.
Это утверждение верно. Нулевой вектор не может быть представлен как линейная комбинация других векторов, кроме как с использованием коэффициента, равного нулю. Таким образом, если векторная система содержит нулевой вектор, то существует нетривиальная линейная комбинация, которая равна нулю, что и делает систему линейно зависимой.
-
Число, равное максимальному количеству линейно независимых векторов этого пространства, называется размерностью линейного пространства.
Это утверждение также верно. Размерность линейного пространства определяется как максимальное количество линейно независимых векторов, которые могут быть выбраны из этого пространства. Это важное понятие в линейной алгебре.
-
Любая система линейно независимых векторов в линейном пространстве является ее базисом.
Это утверждение неверно. Для того чтобы система векторов была базисом, она должна не только быть линейно независимой, но и порождать всё пространство. Если линейно независимые векторы не заполняют всё пространство, то они не могут быть базисом.
-
Любой вектор линейного пространства можно представить в виде линейной комбинации произвольного базиса этого пространства.
Это утверждение верно. По определению, любой вектор в линейном пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса, так как базис порождает всё пространство.
-
В пространстве векторов Vn базис определяется единственным образом.
Это утверждение неверно. В любом линейном пространстве может существовать множество различных базисов. Однако все базисы данного пространства будут иметь одинаковую размерность, но могут состоять из разных векторов.
Итак, верные утверждения: первое, второе и четвертое.