2025-07-13 10:38:02
Вычисление интеграла от полного дифференциала. Вывод формулы НьютонаЛейбница:
Другие предметы Университет Интегралы и дифференциалы кратные интегралы ряды университет интеграл полный дифференциал формула Ньютона-Лейбница вычисление интеграла математический анализ
2025-07-13 10:38:18
Чтобы понять, как вывести формулу Ньютона-Лейбница для интеграла от полного дифференциала, давайте разберем основные шаги этого процесса.
Шаг 1: Понимание полного дифференциалаПолный дифференциал функции f(x) может быть записан как:
- df = f'(x) dx
где f'(x) - производная функции f по переменной x.
Шаг 2: Определение интеграла от полного дифференциалаИнтеграл от полного дифференциала df на интервале [a, b] можно записать как:
- ∫(a to b) df
Согласно свойствам интегралов, мы можем выразить это как:
- ∫(a to b) df = f(b) - f(a)
Формула Ньютона-Лейбница связывает определенный интеграл и производную функции. Она утверждает, что если F(x) - первообразная функции f(x), то:
- ∫(a to b) f(x) dx = F(b) - F(a)
Теперь, если мы рассматриваем полный дифференциал df = f'(x) dx, мы видим, что:
- ∫(a to b) df = ∫(a to b) f'(x) dx
По формуле Ньютона-Лейбница это равняется:
- F(b) - F(a)
где F(x) - это функция, производная которой равна f'(x).
Шаг 4: ЗаключениеТаким образом, мы пришли к выводу, что интеграл от полного дифференциала функции f(x) на интервале [a, b] равен разности значений функции на границах этого интервала:
- ∫(a to b) df = f(b) - f(a)
Это и есть основная идея формулы Ньютона-Лейбница, которая показывает связь между интегрированием и дифференцированием.
