Чтобы вычислить четырехточечное дискретное преобразование Фурье (ДПФ) заданного сигнала, сначала необходимо понять, что такое ДПФ. ДПФ позволяет преобразовать последовательность дискретных значений во временной области в последовательность значений в частотной области.
Формула для ДПФ выглядит следующим образом:
- X[k] = Σ (x[n] * e^(-j * 2 * π * k * n / N)), где
- X[k] - значение ДПФ на частоте k,
- x[n] - значение входного сигнала,
- N - количество точек в ДПФ (в нашем случае N = 4),
- k - индекс частоты (k = 0, 1, 2, 3),
- n - индекс времени (n = 0, 1, 2, 3).
Теперь у нас есть сигнал, который нужно преобразовать. Мы будем использовать следующие значения:
- x[0] = 0.6250
- x[1] = -0.2500 - 0.1250i
- x[2] = -0.1250
- x[3] = -0.2500 + 0.1250i
Теперь мы можем вычислить X[k] для k = 0, 1, 2, 3.
- Для k = 0:
- X[0] = x[0] + x[1] + x[2] + x[3]
- X[0] = 0.6250 + (-0.2500 - 0.1250i) + (-0.1250) + (-0.2500 + 0.1250i)
- X[0] = 0.6250 - 0.2500 - 0.1250 - 0.2500 + (-0.1250i + 0.1250i)
- X[0] = 0.6250 - 0.6250 = 0
- Для k = 1:
- X[1] = Σ (x[n] * e^(-j * 2 * π * 1 * n / 4)), n от 0 до 3
- X[1] = x[0] * e^(0) + x[1] * e^(-j * π/2) + x[2] * e^(-j * π) + x[3] * e^(-j * 3π/2)
- X[1] = 0.6250 + (-0.2500 - 0.1250i) * (-j) + (-0.1250) * (-1) + (-0.2500 + 0.1250i) * j
- X[1] = 0.6250 + (0.1250 - 0.2500i) + 0.1250 + (-0.1250 + 0.2500i)
- X[1] = 0.6250 + 0.1250 + 0.1250 + (-0.2500i + 0.2500i) = 0.8750
- Для k = 2:
- X[2] = Σ (x[n] * e^(-j * 2 * π * 2 * n / 4)), n от 0 до 3
- X[2] = x[0] * e^(0) + x[1] * e^(-j * π) + x[2] * e^(-j * 2π) + x[3] * e^(-j * 3π)
- X[2] = 0.6250 + (-0.2500 - 0.1250i) * (-1) + (-0.1250) + (-0.2500 + 0.1250i) * (-1)
- X[2] = 0.6250 + 0.2500 + 0.1250i - 0.1250 + 0.2500 - 0.1250i
- X[2] = 0.6250 + 0.2500 - 0.1250 + 0.2500 = 1.0000
- Для k = 3:
- X[3] = Σ (x[n] * e^(-j * 2 * π * 3 * n / 4)), n от 0 до 3
- X[3] = x[0] * e^(0) + x[1] * e^(-j * 3π/2) + x[2] * e^(-j * 3π) + x[3] * e^(-j * 9π/2)
- X[3] = 0.6250 + (-0.2500 - 0.1250i) * j + (-0.1250) * (-1) + (-0.2500 + 0.1250i) * (-j)
- X[3] = 0.6250 + (0.1250 + 0.2500i) + 0.1250 + (0.1250 - 0.2500i)
- X[3] = 0.6250 + 0.1250 + 0.1250 + (0.2500i - 0.2500i) = 0.8750
Таким образом, результаты четырехточечного ДПФ для заданного сигнала:
- X[0] = 0
- X[1] = 0.8750
- X[2] = 1.0000
- X[3] = 0.8750