Вычислить четырехточечное дискретное преобразование Фурье (ДПФ) заданного сигнала

• 0.6250; -0.2500-0.1250i; -0.1250; -0.2500+0.1250i
• 0.5000; -0.1250-0.1250i; -0.2500; -0.1250+0.1250i
• 0.5000; -0.2500-0.2500i; 0; -0.2500+0.2500i
• 0.5000; 0.1250-0.1250i; -0.2500; 0.1250+0.1250i

Другие предметы Университет Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) Цифровая обработка сигналов Дискретное преобразование Фурье Четырехточечное ДПФ обработка сигналов Сигналы и системы университет Учебные материалы ЦОС Применение ДПФ Алгоритмы обработки сигналов Учебная программа ЦОС Новый

Чтобы вычислить четырехточечное дискретное преобразование Фурье (ДПФ) заданного сигнала, сначала необходимо понять, что такое ДПФ. ДПФ позволяет преобразовать последовательность дискретных значений во временной области в последовательность значений в частотной области.

Формула для ДПФ выглядит следующим образом:

• X[k] = Σ (x[n] * e^(-j * 2 * π * k * n / N)), где
• X[k] - значение ДПФ на частоте k,
• x[n] - значение входного сигнала,
• N - количество точек в ДПФ (в нашем случае N = 4),
• k - индекс частоты (k = 0, 1, 2, 3),
• n - индекс времени (n = 0, 1, 2, 3).

Теперь у нас есть сигнал, который нужно преобразовать. Мы будем использовать следующие значения:

• x[0] = 0.6250
• x[1] = -0.2500 - 0.1250i
• x[2] = -0.1250
• x[3] = -0.2500 + 0.1250i

Теперь мы можем вычислить X[k] для k = 0, 1, 2, 3.

1. Для k = 0:
• X[0] = x[0] + x[1] + x[2] + x[3]
• X[0] = 0.6250 + (-0.2500 - 0.1250i) + (-0.1250) + (-0.2500 + 0.1250i)
• X[0] = 0.6250 - 0.2500 - 0.1250 - 0.2500 + (-0.1250i + 0.1250i)
• X[0] = 0.6250 - 0.6250 = 0
2. Для k = 1:
• X[1] = Σ (x[n] * e^(-j * 2 * π * 1 * n / 4)), n от 0 до 3
• X[1] = x[0] * e^(0) + x[1] * e^(-j * π/2) + x[2] * e^(-j * π) + x[3] * e^(-j * 3π/2)
• X[1] = 0.6250 + (-0.2500 - 0.1250i) * (-j) + (-0.1250) * (-1) + (-0.2500 + 0.1250i) * j
• X[1] = 0.6250 + (0.1250 - 0.2500i) + 0.1250 + (-0.1250 + 0.2500i)
• X[1] = 0.6250 + 0.1250 + 0.1250 + (-0.2500i + 0.2500i) = 0.8750
3. Для k = 2:
• X[2] = Σ (x[n] * e^(-j * 2 * π * 2 * n / 4)), n от 0 до 3
• X[2] = x[0] * e^(0) + x[1] * e^(-j * π) + x[2] * e^(-j * 2π) + x[3] * e^(-j * 3π)
• X[2] = 0.6250 + (-0.2500 - 0.1250i) * (-1) + (-0.1250) + (-0.2500 + 0.1250i) * (-1)
• X[2] = 0.6250 + 0.2500 + 0.1250i - 0.1250 + 0.2500 - 0.1250i
• X[2] = 0.6250 + 0.2500 - 0.1250 + 0.2500 = 1.0000
4. Для k = 3:
• X[3] = Σ (x[n] * e^(-j * 2 * π * 3 * n / 4)), n от 0 до 3
• X[3] = x[0] * e^(0) + x[1] * e^(-j * 3π/2) + x[2] * e^(-j * 3π) + x[3] * e^(-j * 9π/2)
• X[3] = 0.6250 + (-0.2500 - 0.1250i) * j + (-0.1250) * (-1) + (-0.2500 + 0.1250i) * (-j)
• X[3] = 0.6250 + (0.1250 + 0.2500i) + 0.1250 + (0.1250 - 0.2500i)
• X[3] = 0.6250 + 0.1250 + 0.1250 + (0.2500i - 0.2500i) = 0.8750

Таким образом, результаты четырехточечного ДПФ для заданного сигнала:

• X[0] = 0
• X[1] = 0.8750
• X[2] = 1.0000
• X[3] = 0.8750