Для решения этой задачи мы воспользуемся формулой для разложения бинома Ньютона, которая может быть обобщена на многочлены. В данном случае у нас есть многочлен (3x^3 + 2y^2 + 7z^5)^10, и нам нужно найти коэффициент при x^12y^8z^10.

Общая формула для разложения многочлена (a + b + c)^n в виде суммы слагаемых имеет вид:

• n! / (k1! * k2! * k3!) * a^k1 * b^k2 * c^k3

где k1 + k2 + k3 = n.

В нашем случае a = 3x^3, b = 2y^2 и c = 7z^5, а n = 10. Коэффициент при x^12y^8z^10 будет равен:

1. Определим степени, которые нужно получить: x^12, y^8 и z^10.
2. Из выражения (3x^3)^k1, (2y^2)^k2 и (7z^5)^k3 мы видим, что:
• 3k1 = 12, отсюда k1 = 4,
• 2k2 = 8, отсюда k2 = 4,
• 5k3 = 10, отсюда k3 = 2.
3. Проверяем, что сумма k1 + k2 + k3 = 4 + 4 + 2 = 10, что соответствует n.
4. Теперь подставим значения k1, k2 и k3 в формулу для коэффициента:
• Коэффициент = 10! / (4! * 4! * 2!) * (3^4) * (2^4) * (7^2).
5. Рассчитаем числовое значение:
• 10! = 3628800,
• 4! = 24,
• 2! = 2,
• Коэффициент биномиальный = 3628800 / (24 * 24 * 2) = 10395,
• 3^4 = 81,
• 2^4 = 16,
• 7^2 = 49.
6. Итак, итоговый коэффициент будет: 10395 * 81 * 16 * 49.
7. Вычислим это произведение:
• 10395 * 81 = 842895,
• 842895 * 16 = 13486320,
• 13486320 * 49 = 660832680.

Таким образом, коэффициент при x^12y^8z^10 в разложении (3x^3 + 2y^2 + 7z^5)^10 равен 660832680.