2025-07-19 08:26:06
Вычислить ∫ sin4xdx, x=0..π/4
- 0
- 1
- 1/3
- 2
- 1/2
Другие предметы Университет Неопределённые интегралы и интегрирование тригонометрических функций высшая математика интегралы вычисление интегралов университет синус математический анализ ∫ sin4xdx пределы интегрирования x=0..π/4 учебные материалы
2025-07-19 08:26:32
Чтобы вычислить интеграл ∫ sin^4(x) dx на интервале от 0 до π/4, мы сначала упростим функцию sin^4(x) с помощью тригонометрических тождеств.
Сначала воспользуемся формулой для возведения синуса в четную степень:
- sin^2(x) = (1 - cos(2x)) / 2
Следовательно, для sin^4(x) мы можем записать:
- sin^4(x) = (sin^2(x))^2 = ((1 - cos(2x)) / 2)^2
Теперь раскроем квадрат:
- sin^4(x) = (1 - cos(2x))^2 / 4
- sin^4(x) = (1 - 2cos(2x) + cos^2(2x)) / 4
Для упрощения cos^2(2x) также используем формулу:
- cos^2(2x) = (1 + cos(4x)) / 2
Теперь подставим это в выражение для sin^4(x):
- sin^4(x) = (1 - 2cos(2x) + (1 + cos(4x)) / 2) / 4
- sin^4(x) = (2 - 4cos(2x) + 1 + cos(4x)) / 8
- sin^4(x) = (3 - 4cos(2x) + cos(4x)) / 8
Теперь мы можем записать интеграл:
∫ sin^4(x) dx = ∫ (3 - 4cos(2x) + cos(4x)) / 8 dxТеперь разобьем интеграл на части:
∫ sin^4(x) dx = (1/8) ∫ (3 - 4cos(2x) + cos(4x)) dxТеперь вычислим каждый из интегралов по отдельности:
- ∫ 3 dx = 3x
- ∫ -4cos(2x) dx = -4 * (1/2)sin(2x) = -2sin(2x)
- ∫ cos(4x) dx = (1/4)sin(4x)
Теперь подставим все обратно в интеграл:
∫ sin^4(x) dx = (1/8) (3x - 2sin(2x) + (1/4)sin(4x)) + CТеперь подставим пределы интегрирования от 0 до π/4:
- F(π/4) = (1/8) [3(π/4) - 2sin(π/2) + (1/4)sin(π)]
- F(0) = (1/8) [3(0) - 2sin(0) + (1/4)sin(0)] = 0
Теперь вычислим значение F(π/4):
- F(π/4) = (1/8) [3(π/4) - 2(1) + 0]
- F(π/4) = (1/8) [3π/4 - 2]
Теперь вычтем F(0) из F(π/4):
∫ sin^4(x) dx от 0 до π/4 = (1/8) [3π/4 - 2]Таким образом, окончательный ответ:
∫ sin^4(x) dx от 0 до π/4 = (3π/32) - (1/4)