Выведите закон распределения давления в произвольной точке жидкости и уравнение образующей свободной поверхности жидкости в следующем случае:
- если сосуд с жидкостью равномерно вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр сосуда.

Другие предметы Университет Динамика жидкостей в вращательных системах гидрогазодинамика закон распределения давления уравнение свободной поверхности сосуд с жидкостью вращение жидкости вертикальная ось центр сосуда гидродинамические законы распределение давления в жидкости свободная поверхность жидкости Новый

Когда сосуд с жидкостью вращается вокруг вертикальной оси, на жидкость действуют центробежные силы, которые влияют на распределение давления и форму свободной поверхности жидкости. Давайте рассмотрим, как вывести закон распределения давления и уравнение образующей свободной поверхности.

1. Закон распределения давления:

Внутри жидкости, находящейся в сосуде, давление изменяется с высотой и зависит от радиусного расстояния от оси вращения. Для анализа этого процесса воспользуемся следующими шагами:

1. Определение центробежной силы: При вращении жидкость испытывает центробежную силу, которая направлена от оси вращения. Эта сила равна:
• F_c = ρ * ω² * r,
2. где ρ — плотность жидкости, ω — угловая скорость вращения, r — радиус от оси вращения.
3. Запись уравнения равновесия: В состоянии равновесия для элемента жидкости действует баланс сил:
• dp = -ρ * ω² * r * dr,
4. где dp — изменение давления, dr — изменение радиуса.
5. Интегрирование уравнения: Интегрируем уравнение от радиуса r до радиуса R (где R — максимальный радиус жидкости) и от давления p до p0 (где p0 — давление на поверхности жидкости):
• p - p0 = -∫(ρ * ω² * r) dr,
6. Результат интегрирования: После интегрирования получаем:
• p = p0 - (ρ * ω² / 2) * (R² - r²),
7. где R — радиус на поверхности жидкости.

Таким образом, закон распределения давления в произвольной точке жидкости будет равен:

p = p0 - (ρ * ω² / 2) * (R² - r²)

2. Уравнение образующей свободной поверхности:

Форма свободной поверхности жидкости также будет зависеть от центробежной силы. Для нахождения уравнения образующей свободной поверхности следуем следующим шагам:

1. Определение высоты свободной поверхности: На свободной поверхности жидкости давление равно атмосферному давлению p0. Из уравнения распределения давления мы можем выразить высоту h:
• p0 = p0 - (ρ * ω² / 2) * (R² - r²),
2. Упрощение уравнения: Убираем p0, и получаем:
• 0 = - (ρ * ω² / 2) * (R² - r²),
3. Решение уравнения: Из этого уравнения видно, что на свободной поверхности:
• r² = R²,
4. где R — максимальный радиус жидкости.

Таким образом, уравнение образующей свободной поверхности будет иметь вид:

h = (ω² / 2g) * r² + h0

где h0 — начальная высота жидкости, а g — ускорение свободного падения.

В заключение, мы получили закон распределения давления в произвольной точке жидкости и уравнение образующей свободной поверхности для сосуда, вращающегося вокруг вертикальной оси.