2025-05-22 06:58:48
Вывести формулу для производной обратной функции.
Другие предметы Университет Производные и обратные функции производная обратной функции формула производной математический анализ университет обратная функция дифференцирование функций
2025-05-22 06:59:00
Для нахождения производной обратной функции, давайте рассмотрим функцию f(x), которая является строго монотонной и имеет обратную функцию f-1(y). Мы хотим вывести формулу для производной этой обратной функции.
Шаги, которые мы будем использовать для вывода формулы:
- Определим взаимосвязь между функцией и её обратной функцией:
- Пусть y = f(x), тогда x = f-1(y).
- Применим правило дифференцирования:
- Дифференцируя обе стороны уравнения y = f(x) по x, получаем: dy/dx = f'(x).
- Теперь, применяя правило производной для обратной функции, мы можем выразить dx/dy:
- Используем правило цепочки:
- Так как x = f-1(y), мы можем записать: dx/dy = 1/(dy/dx).
- То есть, dx/dy = 1/f'(x), где x = f-1(y).
- Записываем окончательную формулу:
- Таким образом, производная обратной функции f-1(y) будет равна:
- f-1'(y) = 1 / f'(f-1(y)).
Эта формула позволяет нам находить производную обратной функции, зная производную исходной функции и значение обратной функции.