Вывести формулу для расстояния между скрещивающимися прямыми

Другие предметы Университет Расстояние между скрещивающимися прямыми расстояние между скрещивающимися прямыми линейная алгебра аналитическая геометрия формула расстояния университетская математика Новый

Чтобы вывести формулу для расстояния между скрещивающимися прямыми в пространстве, давайте рассмотрим две прямые, заданные параметрическими уравнениями:

• Первая прямая: P1:
  x = x1 + a1 * t
  y = y1 + b1 * t
  z = z1 + c1 * t, где t - параметр.
• Вторая прямая: P2:
  x = x2 + a2 * s
  y = y2 + b2 * s
  z = z2 + c2 * s, где s - параметр.

Здесь (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - точки на первых и вторых прямых соответственно, а (a1, b1, c1) и (a2, b2, c2) - направления этих прямых.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти вектор направления для каждой прямой:
   Вектор направления первой прямой: D1 = (a1, b1, c1)
   Вектор направления второй прямой: D2 = (a2, b2, c2)
2. Найти вектор, соединяющий точки на этих прямых:
   Вектор, соединяющий точки (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2): V = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)
3. Найти векторное произведение векторов направлений:
   Векторное произведение D1 и D2: N = D1 x D2
   Это вектор, перпендикулярный обеим прямым.
4. Найти длину вектора N:
   Длина вектора N: |N| = √(N1^2 + N2^2 + N3^2), где N1, N2, N3 - компоненты вектора N.
5. Найти проекцию вектора V на вектор N:
   Проекция: h = |V·N| / |N|, где V·N - скалярное произведение векторов V и N.

Таким образом, расстояние d между скрещивающимися прямыми P1 и P2 можно выразить формулой:

d = |V·N| / |N|

Эта формула позволяет вычислить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве, используя их параметрические уравнения.