Для определения напряжений и перемещений при растяжении или сжатии прямого стержня, нам необходимо рассмотреть основные физические принципы, которые лежат в основе механики материалов. Давайте подробно разберем шаги, необходимые для вывода соответствующих формул.

Напряжение (σ) в материале стержня определяется как сила (F),действующая на поперечное сечение (A) стержня. Формула для определения напряжения выглядит следующим образом:

σ = F / A

• где σ - напряжение, измеряемое в паскалях (Па);
• F - сила, действующая на стержень, в ньютонах (Н);
• A - площадь поперечного сечения стержня, в квадратных метрах (м²).

Деформация (ε) - это относительное изменение длины стержня под действием нагрузки. Она определяется как отношение изменения длины (ΔL) к первоначальной длине (L0) стержня:

ε = ΔL / L0

• где ε - деформация (безразмерная величина);
• ΔL - изменение длины стержня (м);
• L0 - первоначальная длина стержня (м).

Закон Гука связывает напряжение и деформацию для упругих материалов. Он утверждает, что напряжение пропорционально деформации:

σ = E * ε

• где E - модуль Юнга, который является мерой упругости материала и измеряется в паскалях (Па).

Теперь мы можем объединить все вышеперечисленные формулы. Подставив выражение для деформации в закон Гука, получаем:

σ = E * (ΔL / L0)

Также, выражая силу через напряжение, мы можем записать:

F = σ * A

Таким образом, мы можем выразить изменение длины стержня через силу:

ΔL = (F * L0) / (E * A)

Теперь у нас есть все необходимые формулы для определения напряжений и перемещений при растяжении и сжатии прямого стержня:

• σ = F / A - для расчета напряжения;
• ε = ΔL / L0 - для расчета деформации;
• σ = E * ε - для связи напряжения и деформации;
• ΔL = (F * L0) / (E * A) - для расчета изменения длины стержня.

Эти формулы позволяют нам анализировать поведение прямых стержней под воздействием растягивающих или сжимающих сил и являются основой для более сложных расчетов в механике материалов.