Давайте рассмотрим, как вывести параметрические уравнения и каноническое уравнение прямой на плоскости, а также определим понятие направляющего вектора и выведем уравнение прямой с угловым коэффициентом.

1. Направляющий вектор прямой

Направляющий вектор прямой — это вектор, который указывает направление этой прямой. Если у нас есть две точки на плоскости, A(x1, y1) и B(x2, y2),то направляющий вектор можно найти как:

• v = (x2 - x1, y2 - y1)

Этот вектор показывает, как изменяются координаты x и y при движении по прямой от точки A к точке B.

2. Параметрические уравнения прямой

Параметрические уравнения прямой можно записать, используя направляющий вектор. Если мы обозначим направляющий вектор как v = (a, b),то параметрические уравнения прямой можно записать следующим образом:

• x = x0 + at
• y = y0 + bt

где (x0, y0) — это одна из точек на прямой, а t — параметр, который принимает любое значение.

3. Каноническое уравнение прямой

Каноническое уравнение прямой имеет вид:

• (x - x0) / a = (y - y0) / b

Это уравнение показывает, что изменение координат x и y пропорционально изменениям по направляющему вектору. Его можно преобразовать в более привычный вид.

4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Угловой коэффициент (m) прямой определяет наклон этой прямой и вычисляется как:

• m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Если мы знаем угловой коэффициент и точку (x0, y0) на прямой, то уравнение прямой можно записать в виде:

• y - y0 = m(x - x0)

Это уравнение также можно привести к каноническому виду:

• y = mx + (y0 - mx0)

Таким образом, мы вывели уравнения прямой как в параметрической, так и в канонической форме, а также уравнение с угловым коэффициентом.