Для приближенного нахождения значения функции sin 31° с использованием дифференциала, нам нужно воспользоваться свойствами производной функции синуса и значениями, которые мы имеем. Начнем с определения необходимого значения:

Сначала определим ближайшие углы, значения синуса которых нам известны. Это углы 30° и 45°:

• sin 30° = 0.5
• sin 45° ≈ 0.7071

Теперь найдем производную функции sin(x):

• f(x) = sin(x)
• f'(x) = cos(x)

Выберем x = 30° (или π/6 радиан) как точку, в которой мы знаем значение синуса. Теперь найдем производное значение в этой точке:

• cos(30°) = √3/2 ≈ 0.866

Теперь применим формулу для дифференциала:

• df = f'(x) * dx

Где dx = 31° - 30° = 1°.

Для работы с производными, лучше перевести углы в радианы:

• 1° = π/180 радиан
• dx = 1° = π/180

Теперь можем найти значение sin 31°:

• sin(31°) ≈ sin(30°) + df
• df = cos(30°) * dx = (√3/2) * (π/180)

Подставляем значения:

• sin(31°) ≈ 0.5 + 0.866 * (π/180)

Теперь подставим значение π/180 ≈ 0.01745:

• df ≈ 0.866 * 0.01745 ≈ 0.0151

Следовательно:

• sin(31°) ≈ 0.5 + 0.0151 ≈ 0.5151

Таким образом, приближенное значение sin 31° равно примерно 0.5151, что близко к вашему значению 0.5150. Это подтверждает правильность нашего подхода к решению задачи.