Смешанное произведение трех векторов в трехмерном пространстве можно выразить через определитель матрицы, составленной из этих векторов. Если у нас есть три вектора A, B и C, записанные в правом ортонормированном базисе, то смешанное произведение обозначается как (A, B, C) и может быть вычислено следующим образом:

Формула для смешанного произведения:

(A, B, C) = |A1 A2 A3|

|B1 B2 B3|

|C1 C2 C3|

где A1, A2, A3 - компоненты вектора A, B1, B2, B3 - компоненты вектора B, C1, C2, C3 - компоненты вектора C.

Шаги для вычисления смешанного произведения:

1. Запишите координаты векторов A, B и C в виде строк матрицы.
2. Составьте матрицу 3x3, где каждая строка соответствует одному из векторов.
3. Вычислите определитель этой матрицы.
4. Полученное значение определителя и будет смешанным произведением векторов A, B и C.

Пример:

Пусть A = (1, 2, 3), B = (4, 5, 6), C = (7, 8, 9).

Тогда матрица будет выглядеть так:

| 1 2 3 |

| 4 5 6 |

| 7 8 9 |

Теперь вычисляем определитель этой матрицы, что даст нам значение смешанного произведения (A, B, C).

Таким образом, смешанное произведение позволяет определить объем параллелепипеда, построенного на этих трех векторах, и его знак указывает на ориентацию векторов в пространстве.