Уравнения Беллмана представляют собой фундаментальный элемент теории динамического программирования и используются для нахождения оптимальных стратегий в задачах принятия решений, таких как управление и обучение с подкреплением.

В общем виде уравнение Беллмана для ценности состояния выглядит следующим образом:

V(s) = max_a Σ_s' P(s'|s, a) [R(s, a, s') + γV(s')]

Где:

• V(s) - ценность состояния s;
• a - действие, которое можно предпринять в состоянии s;
• P(s'|s, a) - вероятность перехода в состояние s' при выполнении действия a в состоянии s;
• R(s, a, s') - вознаграждение, получаемое за переход из состояния s в состояние s' при выполнении действия a;
• γ - коэффициент дисконтирования, который в данном случае равен 0.8;
• Σ - сумма по всем возможным состояниям s'.

Теперь, чтобы получить значения ценности состояний, нам необходимо следовать определенным шагам:

1. Определите все состояния и действия: Сначала нужно знать, какие состояния и действия имеются в вашей задаче.
2. Определите вероятности переходов: Для каждого состояния и действия необходимо определить вероятности перехода в другие состояния.
3. Определите вознаграждения: Для каждого состояния и действия также нужно определить, какое вознаграждение вы получаете.
4. Итеративно применяйте уравнение Беллмана: Начните с произвольных значений V(s) и обновляйте их, используя уравнение Беллмана, пока значения не стабилизируются.

Например, если у вас есть три состояния s1, s2 и s3, и вы знаете вероятности переходов и вознаграждения, вы можете записать уравнения для каждого состояния:

• Для состояния s1: V(s1) = max_a [P(s2|s1, a) * (R(s1, a, s2) + 0.8 * V(s2)) + P(s3|s1, a) * (R(s1, a, s3) + 0.8 * V(s3))]
• Для состояния s2: V(s2) = max_a [P(s1|s2, a) * (R(s2, a, s1) + 0.8 * V(s1)) + P(s3|s2, a) * (R(s2, a, s3) + 0.8 * V(s3))]
• Для состояния s3: V(s3) = max_a [P(s1|s3, a) * (R(s3, a, s1) + 0.8 * V(s1)) + P(s2|s3, a) * (R(s3, a, s2) + 0.8 * V(s2))]

После нескольких итераций, когда значения V(s) перестанут сильно изменяться, вы получите приближенные значения ценности состояний.

Таким образом, уравнения Беллмана позволяют нам оценить, насколько ценно каждое состояние в контексте выбора оптимальных действий.