Давайте разберемся, как правильно заполнить пропуск в предложении. Нам нужно использовать причастие, образованное от глагола "to try". В английском языке причастие, образованное от глагола, может быть в двух формах: причастие настоящего времени и причастие прошедшего времени.

В данном случае, нам нужно использовать причастие настоящего времени, так как оно указывает на действие, которое происходит одновременно с другим действием в предложении. Причастие настоящего времени образуется путем добавления "-ing" к основе глагола. Таким образом, от глагола "to try" мы получаем "trying".

Теперь подставим полученное причастие в предложение:

Trying to improve the efficiency of the machine, the engineer carried out some experiments.

Таким образом, правильный ответ: "Trying".