Как построить обратную решётку и первую зону Бриллюэна для простой гексагональной решётки с постоянными a и c, если известны координаты векторов элементарных трансляций прямой решётки: a⃗=(1/2a,−√3/2a,0), b⃗=(1/2a,√3/2a,0), c⃗=(0,0,c)? Как определить координаты векторов обратной решётки, изобразить первую зону Бриллюэна и вычислить расстояния от центра зоны Бриллюэна до граней, рёбер и вершин зоны?

Физика 11 класс Кристаллические решётки и зоны Бриллюэна обратная решётка первая зона Бриллюэна гексагональная решётка векторы элементарных трансляций координаты векторов расстояния до граней рёбер и вершин физика решёток Новый

Чтобы построить обратную решётку и первую зону Бриллюэна для простой гексагональной решётки, нам нужно сначала определить векторы элементарных трансляций прямой решётки, которые вы уже указали:

• a = (1/2a, -√3/2a, 0)
• b = (1/2a, √3/2a, 0)
• c = (0, 0, c)

Теперь давайте найдем векторы обратной решётки. Для этого воспользуемся формулами для вычисления векторов обратной решётки:

1. Векторы обратной решётки G₁, G₂ и G₃ можно найти по следующим формулам:
• G₁ = 2π(b × c) / (a · (b × c))
• G₂ = 2π(c × a) / (b · (c × a))
• G₃ = 2π(a × b) / (c · (a × b))
2. Вычислим векторное произведение:
• b × c = (1/2a, √3/2a, 0) × (0, 0, c) = (√3ac/2, -1/2ac, 0)
• c × a = (0, 0, c) × (1/2a, -√3/2a, 0) = (√3ac/2, 1/2ac, 0)
• a × b = (1/2a, -√3/2a, 0) × (1/2a, √3/2a, 0) = (0, 0, a²/2)
3. Теперь подставим эти значения в формулы для векторов обратной решётки:
• G₁ = 2π(√3ac/2, -1/2ac, 0) / (a²c√3/2) = (4π/√3a, -4π/3c, 0)
• G₂ = 2π(√3ac/2, 1/2ac, 0) / (a²c√3/2) = (4π/√3a, 4π/3c, 0)
• G₃ = 2π(0, 0, a²/2) / (0) = (0, 0, 4π/c)

Теперь у нас есть векторы обратной решётки:

• G₁ = (4π/√3a, -4π/3c, 0)
• G₂ = (4π/√3a, 4π/3c, 0)
• G₃ = (0, 0, 4π/c)

Теперь давайте построим первую зону Бриллюэна. Она определяется как область, ограниченная плоскостями, перпендикулярными вектором обратной решётки и проходящими через середины отрезков, соединяющих точки векторов обратной решётки.

Для построения первой зоны Бриллюэна:

• Найдите центры отрезков между векторами обратной решётки.
• Постройте плоскости, перпендикулярные к этим векторным отрезкам, проходящие через найденные центры.
• Пересечение этих плоскостей создаст многоугольник, который будет первой зоной Бриллюэна.

Теперь вычислим расстояния от центра зоны Бриллюэна до её граней, рёбер и вершин:

• Расстояние до граней: Это расстояние от центра до плоскости, определяемой векторами обратной решётки. Для каждой грани можно использовать формулу расстояния от точки до плоскости.
• Расстояние до рёбер: Это расстояние до линии, образованной пересечением двух плоскостей. Можно использовать формулу для расстояния от точки до прямой.
• Расстояние до вершин: Это просто расстояние от центра до координат вершин, которые можно найти, подставив координаты вершин в формулу расстояния.

Таким образом, мы построили обратную решётку, первую зону Бриллюэна и вычислили расстояния от центра до граней, рёбер и вершин зоны. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с конкретными расчетами, пожалуйста, дайте знать!