Как сложить гармонические колебания и определить суммарную амплитуду и период гармонического колебания 2-го порядка?

Дано: X1=-5sin(П/3 * t П/6)

X2 = 4cos *2П*t

Физика 11 класс Сложение гармонических колебаний гармонические колебания суммарная амплитуда период колебания сложение колебаний физика колебаний x1 x2 амплитуда Период колебания 2-го порядка Новый

Чтобы сложить гармонические колебания и определить их суммарную амплитуду и период, давайте разберем ваши колебания по отдельности и затем сложим их.

Шаг 1: Приведение колебаний к одной форме

У нас есть два колебания:

• X1 = -5sin(π/3 * t + π/6)
• X2 = 4cos(2π * t)

Для удобства давайте преобразуем второе колебание в синусоидальную форму. Мы знаем, что косинус можно выразить через синус:

cos(α) = sin(π/2 - α). В нашем случае:

• X2 = 4cos(2π * t) = 4sin(π/2 - 2π * t) = 4sin(π/2 - 2π * t)

Шаг 2: Приведение к одной фазе

Теперь у нас есть два синусоидальных колебания:

• X1 = -5sin(π/3 * t + π/6)
• X2 = 4sin(π/2 - 2π * t)

Чтобы сложить их, нам нужно привести их к одной и той же угловой частоте. У X1 угловая частота ω1 = π/3, а у X2 угловая частота ω2 = 2π. Однако, чтобы сложить их, нам нужно выбрать одну частоту. Мы можем использовать наименьшую общую кратную частоту.

Наименьшая общая кратная частота для π/3 и 2π равна 2π. Мы можем записать X1 и X2 в терминах этой частоты:

• X1 = -5sin(2π/6 * t + π/6) = -5sin(π/3 * t + π/6)
• X2 = 4cos(2π * t) = 4sin(π/2 - 2π * t)

Шаг 3: Сложение колебаний

Теперь, чтобы сложить колебания, мы можем использовать формулу для суммы синусов:

sin(α) + sin(β) = 2sin((α + β)/2)cos((α - β)/2).

Однако, так как у нас есть разные амплитуды и фазы, мы можем использовать метод векторной суммы. Каждое колебание можно представить как вектор в комплексной плоскости.

Шаг 4: Определение амплитуды и периода

Суммарная амплитуда A будет равна:

• A = sqrt(A1^2 + A2^2 + 2 * A1 * A2 * cos(φ1 - φ2)),

где A1 и A2 - амплитуды колебаний, а φ1 и φ2 - их фазы.

В нашем случае:

• A1 = 5, φ1 = π/6
• A2 = 4, φ2 = π/2

Теперь подставим значения:

• A = sqrt(5^2 + 4^2 + 2 * 5 * 4 * cos(π/6 - π/2)).

Теперь вычислим косинус разности фаз:

• cos(π/6 - π/2) = cos(-π/3) = 1/2.

Подставляем это значение:

• A = sqrt(25 + 16 + 2 * 5 * 4 * 1/2) = sqrt(25 + 16 + 20) = sqrt(61).

Теперь определим период. Период T будет равен наименьшему общему кратному периодов обоих колебаний:

• T1 = 2π/(π/3) = 6,
• T2 = 1.

Наименьшее общее кратное T = 6.

Итак, суммарная амплитуда колебания равна sqrt(61), а период равен 6.