Функция распределения Максвелла по модулю скорости (вероятностная плотность)

Функция распределения по модулю скорости v для идеального газа при температуре T имеет вид

f(v) = 4π (m / (2π k T))^(3/2) v^2 exp( - m v^2 / (2 k T) ),

где m — масса одной частицы, k — постоянная Больцмана. Эта функция нормирована так, что

∫_0^∞ f(v) dv = 1.

Как получают эту формулу (кратко, понятным школьнику способом)

1. Компоненты скорости vx, vy, vz независимы и распределены по нормальному закону: f(vx) = sqrt(m/(2πkT)) exp( - m vx^2/(2kT) ) и аналогично для vy, vz.
2. Совместная плотность по векторам скорости: f(vx,vy,vz) = (m/(2πkT))^(3/2) exp( - m(vx^2+vy^2+vz^2)/(2kT) ).
3. Переход к сферическим координатам: dvx dvy dvz = v^2 sinθ dv dθ dφ, интегрирование по углам даёт множитель 4π v^2 и в результате получается указанная f(v).

Число частиц в данном интервале скоростей

• Если в системе всего N частиц, то доля частиц с модулями скоростей между v и v + dv равна f(v) dv.
• Следовательно число частиц в этом бесконечно малом интервале: dN = N f(v) dv.
• Число частиц в конечном интервале [v1, v2]: N(v1..v2) = N ∫_{v1}^{v2} f(v) dv.

Удобная форма для вычисления интегралов (через замены)

Введём переменную x = v sqrt( m / (2 k T) ). Тогда плотность переписывается как

f(v) dv = (4 / sqrt(π)) x^2 e^{-x^2} dx.

Интеграл от 0 до V выражается через функцию ошибок erf(x):

F(V) = ∫_0^V f(v) dv = erf(x) - (2 x / sqrt(π)) e^{-x^2}, где x = V sqrt( m / (2 k T) ).

Тогда доля частиц в интервале [v1, v2] равна F(v2) - F(v1), и число — N (F(v2) - F(v1)).

Приближённо для малого Δv

Если интервал мал (Δv << v), то число частиц в интервале [v, v + Δv] ≈ N f(v) Δv.

Характерные скорости

• Наиболее вероятная (мода): v_mp = sqrt(2 k T / m).
• Средняя скорость: v_mean = sqrt(8 k T / (π m)).
• Среднеквадратичная скорость (rms): v_rms = sqrt(3 k T / m).

Короткая памятка по применению

1. Подставьте m и T в f(v).
2. Для числа частиц в [v1,v2] вычислите интеграл N ∫_{v1}^{v2} f(v) dv. Можно перейти к переменной x и выразить результат через erf, либо посчитать численно.
3. Для малых интервалов используйте dN ≈ N f(v) Δv.