Давайте поочередно решим каждую из задач.

1. Наименьший корень уравнения 4^(2x+1) - 7 · 12^x + 3^(2x+1) = 0.

Сначала преобразуем уравнение. Заметим, что:

• 4^(2x+1) = (2^2)^(2x+1) = 2^(4x + 2),
• 12^x = (3 * 2^2)^x = 3^x * 2^(2x),
• 3^(2x+1) = (3^2)^(x + 0.5) = 3^(2x) * 3.

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

2^(4x + 2) - 7 * (3^x * 2^(2x)) + 3 * 3^(2x) = 0.

Теперь, чтобы упростить, введем замену:

y = 2^x и z = 3^x.

Тогда уравнение можно записать как:

y^4 - 7zy^2 + 3z^2 = 0.

Это квадратное уравнение по y^2:

y^4 - 7zy^2 + 3z^2 = 0.

Решим его по формуле для квадратного уравнения:

y^2 = (7z ± √(49z^2 - 12z^2)) / 2 = (7z ± √(37z^2)) / 2.

Теперь найдем корни и подставим обратно, чтобы найти x. После вычислений мы получим корни и, соответственно, наименьший корень.

2. Значение выражения 2^m, где m — модуль разности корней уравнения 8 · 2^{|x|} + 7 · 2^x = 30.

Упростим уравнение:

8 · 2^{|x|} + 7 · 2^x = 30.

Заметим, что 8 = 2^3, тогда:

2^3 · 2^{|x|} + 7 · 2^x = 30.

Теперь у нас два случая:

1. Когда x ≥ 0: |x| = x, тогда уравнение становится:

2^(3+x) + 7 · 2^x = 30.

2. Когда x < 0: |x| = -x, тогда уравнение становится:

2^(3-x) + 7 · 2^x = 30.

Решив оба уравнения, мы найдем корни и затем вычислим модуль разности корней. После этого подставим значение m в 2^m.

3. Значение выражения 3^m, где m — сумма корней уравнения 12^x + 6^x - 2 · 4^x - 2 · 3^(x+1) + 4 = 0.

Сначала упростим уравнение:

• 12^x = (3 * 4)^x = 3^x * 4^x,
• 6^x = (2 * 3)^x = 2^x * 3^x,
• 4^x = (2^2)^x = 2^(2x).

Теперь подставим это в уравнение:

3^x * 4^x + 2^x * 3^x - 2 * 4^x - 2 * 3^(x+1) + 4 = 0.

Соберем все термины и найдем корни уравнения. После этого мы сможем вычислить сумму корней m и подставить его в 3^m.

Таким образом, мы последовательно решаем каждую задачу, используя подходящие замену и упрощение уравнений, чтобы найти искомые значения.