Какую кинетическую энергию нужно дать электрону, чтобы его дебройлевская длина волны стала равной комптоновской длине волны?

Физика 11 класс Дебройлевская и комптоновская длины волн кинетическая энергия электрона дебройлевская длина волны комптоновская длина волны Новый

Для решения данной задачи нам нужно вспомнить, что такое дебройлевская длина волны и комптоновская длина волны, а также как они связаны с энергией электрона.

1. Дебройлевская длина волны

Дебройлевская длина волны (λ_д) электрона определяется по формуле:

λ_д = h / p

где h - постоянная Планка, p - импульс электрона. Импульс можно выразить через массу (m) и скорость (v) электрона:

p = m * v

Таким образом, дебройлевская длина волны может быть записана как:

λ_д = h / (m * v)

2. Комптоновская длина волны

Комптоновская длина волны (λ_к) определяется как:

λ_к = h / (m * c)

где c - скорость света в вакууме.

3. Условие задачи

Мы хотим, чтобы дебройлевская длина волны электрона равнялась его комптоновской длине волны:

λ_д = λ_к

Подставляем формулы:

h / (m * v) = h / (m * c)

Сокращаем h и m (при условии, что они не равны нулю):

1 / v = 1 / c

Отсюда следует, что:

v = c

Однако, скорость электрона не может быть равна скорости света, так как это противоречит специальной теории относительности. Поэтому мы должны использовать релятивистские уравнения.

4. Релятивистская формула для импульса

Импульс в релятивистском случае определяется как:

p = m * v / sqrt(1 - (v^2 / c^2))

Подставляем это в формулу для дебройлевской длины волны:

λ_д = h / (m * v / sqrt(1 - (v^2 / c^2)))

Теперь приравниваем λ_д к λ_к:

h / (m * v / sqrt(1 - (v^2 / c^2))) = h / (m * c)

Сокращаем h и m:

1 / (v / sqrt(1 - (v^2 / c^2))) = 1 / c

Переписываем уравнение:

c = v / sqrt(1 - (v^2 / c^2))

Теперь возведем обе части в квадрат:

c^2 = v^2 / (1 - (v^2 / c^2))

Умножим обе стороны на (1 - (v^2 / c^2)):

c^2 * (1 - (v^2 / c^2)) = v^2

Раскроем скобки:

c^2 - v^2 = v^2

Соберем все в одну сторону:

c^2 = 2 * v^2

Отсюда получаем:

v = c / sqrt(2)

5. Кинетическая энергия

Теперь, зная скорость, можем найти кинетическую энергию электрона. Релятивистская кинетическая энергия (E_k) определяется как:

E_k = mc^2 * (1 / sqrt(1 - (v^2 / c^2)) - 1)

Подставим v = c / sqrt(2):

E_k = mc^2 * (1 / sqrt(1 - (1/2)) - 1)

E_k = mc^2 * (1 / sqrt(1/2) - 1)

E_k = mc^2 * (sqrt(2) - 1)

Ответ: Кинетическая энергия, которую нужно дать электрону, чтобы его дебройлевская длина волны стала равной комптоновской длине волны, равна mc^2 * (sqrt(2) - 1).