Условие и схема

1. У нас квадратная рамка со стороной a и бесконечный прямой провод в одной плоскости. Две противоположные стороны рамки параллельны проводу; расстояние от ближайшей параллельной стороны до провода равно a. Токи в проводе и в рамке равны I = 40 А.
2. Нас спрашивают о силе, действующей на одну из сторон рамки, которая перпендикулярна проводу (то есть на одну из тех двух сторон, соединяющих параллельные стороны). Такая сторона имеет длину a и располагается между расстояниями x = a и x = 2a от провода.

Решение (шаги)

1. Магнитное поле от бесконечного прямого провода на расстоянии x равно B(x) = mu0 * I / (2 * pi * x), где mu0 = 4 * pi * 10^(-7) Гн/м.
2. Рассмотрим малый элемент стороны длиной dx, находящийся на расстоянии x от провода. Сила на этот элемент по модулю равна dF = I_loop * B(x) * dx, так как вектор dL перпендикулярен вектору B (угол 90°).
3. Интегрируем по всей длине стороны от x = a до x = 2a: F = ∫_a^{2a} I * (mu0 * I / (2 * pi * x)) dx = (mu0 * I^2 / (2 * pi)) * ln(2a / a) = (mu0 * I^2 / (2 * pi)) * ln 2.
4. Подставляем mu0 = 4 * pi * 10^(-7) и упрощаем: mu0 / (2 * pi) = 2 * 10^(-7). Значит F = 2 * 10^(-7) * I^2 * ln 2.
5. Для I = 40 А: I^2 = 1600, поэтому F = 2 * 10^(-7) * 1600 * ln 2 ≈ 3.2 * 10^(-4) * 0.6931 ≈ 2.22 * 10^(-4) Н.

Ответ

• Величина силы, действующей на одну из сторон рамки, перпендикулярную проводу: F = (mu0 I^2 / (2 pi)) * ln 2 ≈ 2.22 * 10^(-4) Н.
• Направление: сила лежит в плоскости рамки и направлена вдоль провода (вверх или вниз), знак зависит от направления тока в той стороне рамки (определяется правилом правой руки для dL × B).